Дискретно-непрерывная математика (стр. 51 )

4) Возвратную разность по отношению к элементу К можно определить по формуле (29):

9.2.2. Анализ цепи, содержащей два зависимых источника напряжения

Рассматривая цепь, содержащую два зависимых источника напряжения, поступим, как и в случае одного зависимого источ­ника.

Выделим из линейной цепи зависимые источники напряжения и ветви, содержащие управляющие сигналы. В результате полу­чим схему, изображенную на рис. 19, где обозначено: Е — независимый источник напряжения; , — зависимые источ­ники напряжения; — ток, управляющий источником ; — ток, управляющий источником ; Uδ — выходное напря­жение.

Рис. 19. Цепь с двумя за­висимыми источниками э. д.с.

Кроме этого, справедливы равенства

= - K1 , = -K2 , (33)

где и — импедансы ребер β1 и β2 соответственно.

Напряжение на выходе цепи Uδ можно рассматривать как результат наложения трех источников напряжения, т. е.

(34)

где ∆0 — главный определитель матрицы контурных сопротивле­ний пассивной цепи без зависимых источников напряжения;

— минор определителя ∆0, полученный вычеркиванием стро­ки α и столбца δ;

— минор определителя ∆0, полученный вычеркиванием строки γ1 и столбца δ;

— минор определите­ля ∆0, полученный вычеркиванием строки γ2 и столбца δ.

Выражение (34) получено с помощью метода контурных токов Максвелла.

Токи и также можно определить, исходя из системы контурных уравнений и принципа наложения:

(35)

Учитывая соотношение (33) и вводя обозначения

W1 = K , W2 = K

(здесь W1 и W2 называются передаточными активными импедансами цепи), получим систему уравнений

(36)

Определитель этой системы имеет вид

первый минор:

второй минор:

Ток можно записать в следующем виде:

(37) После преобразований окончательно получим

(38)

где

(39)

Формулы (39) можно получить, раскрыв определитель по методу Лапласа.

Используя метод блочных групп, полученные миноры, можно выразить через функции совпадения:

(40)

где А — блочная группа, для которой граф цепи служит обратным изображением, Z — множество импедансов цепи. Учитывая соотношения (39), ток можно записать в виде

(41)

Аналогично для тока имеем

(42)

где

(43)

В этой формуле — минор, полученный вычеркива­нием строк α и γ и столбцов β1 и β2 из определителя ∆0. Этот минор можно также выразить с помощью функции совпадения

(44)

В формуле (43), как и выше, А — блочная группа, для которой граф цепи служит обратным изображением, a Z — множество импедансов цепи.

Учитывая формулу (43), ток можно представить в виде

(45)

где

∆ = ∆0 + W1 + W2 - W1 W12.

Подставляя соотношения (41) и (45) в (34), получим выражение, определяющее усиление цепи, содержащей два зави­симых источника напряжения:

Эту формулу можно преобразовать к следующему виду:

(46)

Подставив в выражение (46) значения коэффициентов N1 и N2, получим

(47)

где

(48)

Здесь, как и выше, величины , , — соответствующие миноры определителя ∆0, которые можно выразить через функции совпадения

(49)

причем граф цепи служит обратным изображением блочной группы A, Z — множество импедансов цепи.

Учитывая полученные результаты, окончательно запишем формулу усиления цепи, содержащей два зависимых источника напряжения:

(50)

Отдельным величинам и выражениям этой формулы можно дать простую физическую интерпретацию.

Первые члены числителя и знаменателя выражения (50) характеризуют непосредственное прохождение сигнала в пред­положении, что оба коэффициента усиления равны нулю (т. е. оба активных передаточных импеданса W1 и W2 равны нулю). Таким образом, непосредственная передача сигнала определяется фор­мулой

Два первых члена числителя и два первых члена знаменателя определяют усиление цепи при нулевом коэффициенте усиления другого элемента (W2 = 0). Аналогично первый и третий члены числителя и знаменателя определяют усиление цепи при нулевом коэффициенте усиления первого элемента (W1 = 0).

9.2.3. Формулы для расчета цепи, содержащей N зависимых источников напряжения

На основании формул для цепей, содержащих один или два зависимых источника, можно вывести формулы для цепи, содержа­щей N зависимых источников напряжения.

Формула усиления цепи с N зависимыми источниками напря­жения имеет вид

(51)

где .

Если предположить, что все активные передаточные импедансы стремятся к бесконечности (этот случай соответствует очень сильной обратной связи), то формула для усиления упростится и примет вид

. (52)

Формулу для возвратной разности можно вывести на основа­нии свойства, полученного Боде, согласно которому возвратная разность выражается отношением определителя матрицы импедан­сов цепи к ее определителю при нулевых зависимых источниках напряжения. В результате получим

(53)

Определим усиление цепи при

Можно показать, что детерминантная функция блочной группы А имеет вид

В случае, если выполняется условие

(54)

формула усиления напряжения цепи запишется в виде

(55)