Дискретно-непрерывная математика (стр. 22 )

6.1. Понятия блочных групп и операции над ними

Пусть X — подмножество абстрактного пространства P. Элемeнты множества X обозначим

αi, βi, γi … X

Рассмотрим систему элементов в виде матрицы

(1)

Будем рассматривать эту систему как совокупность столбцов аk, т. е.

A ={ a1, a2, …., ak}. ai ≠aj (i≠j). (2)

(Столбцы аk в свою очередь представляют собой неупорядоченные множества элементов

аk = (3)

Столбцы будем считать равными, если они содержат одинаковые элементы. Положим по определению, что система (1) не содержит одинаковых столбцов. Систему типа (1) будем рассматривать как элемент новой алгебры — алгебры блочных групп. Соглас­но определениям абстрактной алгебры, алгебру блочных групп можно отнести к категории операторных алгебр, т. е. ее можно характеризовать упорядоченной тройкой

<Е, Ω, е>,

где Е — носитель алгебры (в нашем случае семейство множеств); Ω - двухэлементное множество операторов ω1, ω2, определяющих сумму и произведение; е — результат, т. е. функция, которая выражению АωВ ставит в соответствие элемент СЕ, являющийся результатом действия.

Введем вспомогательное понятие, которое используем при определении блочной группы.

Рассмотрим последовательность элементов xі, необязательно различных:

<х1, х2, . . ., xі, . . ., хп>. (4)

Обозначим через r(хk) — число одинаковых элементов после­довательности (4).

Блочной группой будем называть систему элементов αik вида (1) [с учетом (2) и (3)], удовлетворяющая следующим опре­делениям.

Определение 1. Две блочные группы считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда (а А) (а В) или

А = В а (а А а В). (5)

Определение 2. Суммой блочных групп А и В называется блочная группа

С ={х|(хА)(хВ), хАВ)=АВ; (6)

в этом случае можно написать С = А + В.

Выражение А В в формуле (6) означает симметрическую разность множеств А и В.

Определение 3. Произведением блочных групп А и В называется блочная группа

С = {а b | а b = Ø, r(а b) {1, 2, . . .,} а А, b В}, (7)

которое записывается в виде С = AB.

В соответствии с определением суммы при сложении блочных групп опускаются столбцы, одновременно присутствующие в обоих блочных группах А и В, а в соответствии с определением произведе­ния при умножении блочных групп А и В опускаются те столбцы a b, в которых какой-либо элемент повторяется, т. е. для которых а b ≠ Ø.

Можно заметить, что равенство блочных групп пред­ставляет собой отношение эквивалентности, т. е. является реф­лексивным, симметричным и транзитивным.

Далее будут приведены примеры действий с блочными группами, элементы которых аik X представляют собой нату­ральные числа (этот случай имеет большое значение для приме­нения алгебры блочных групп), а также даны словесные фор­мулировки действий с блочными групп, которые менее точны, чем вышеприведенные, однако более понятны для читателей.

Пример 1. Равенство блочных групп:

Две блочные группы равны, если содержат идентичные столбцы, независимо от порядка элементов в столбцах и порядка столбцов.

Пример 2. Сложение блочных групп:

Суммой двух блочных групп А и В называется блочная группа, содержащая все столбцы чисел А и В, за исключением идентичных столбцов, и не содержащее других столбцов.

Пример 3. Умножение блочных групп:

Произведением двух блочных групп А и В называется блочная группа, столбцы которой представляют собой суммы (согласно понятиям теории множеств) всех возможных комби­наций столбцов А и В, за исключением наибольшего четного числа идентичных столбцов и таких столбцов, в которых какой-либо элемент повторяется (произведение других столбцов не содержит).

Из определения суммы и произведения блочных групп следует, что эти операции всегда можно выполнить на множестве этих блочных групп. Из тех же определений можно сделать вывод, что сложение и умножение блочных групп коммутативны и ассо­циативны, а умножение дистрибутивно относительно сложения.

Для трех произвольных блочных групп имеют место следующие соотношения, подобные тем, которые справедливы для элементарной алгебры:

А + В = В + А,

АВ = ВА,

А (ВС) = (АВ) С,

А (В + С) = АВ + АС. (8)

Будем различать блочную группу [Ø], содержащую один столбец, который является пустым множеством Ø, и блочную группу [ ], не содержащую ни одного столбца. Заметим, что блочная группа [ ] служит модулем суммирования и для произвольной блочной группы А выполняется равенство

А + [ ]=А,

поэтому блочную группу [ ] будем обозначать символом 0, записывая ее в виде

[ ] = 0. (9)

Блочная группа [Ø]в свою очередь есть модуль умножения, так как

А [Ø]= А, (10)

поэтому блочную группу [Ø] обозначим символом 1, записав

[Ø]= 1. (11)

Для любой А имеет место соотношение

А [ ] = [ ].

Рассмотрим блочную группу вида

А ={Ø, а1, а2, . . ., аλ}, (12)

т. е. блочную группу, содержащую один пустой столбец.

Легко заметить, что для такой блочной группы справедливо равенство

АА = 1.

Для блочных групп, не содержащих пустого столбца,

АА = 0.

Если множество блочных групп вида (12) обозначить как A, а множество всех остальных блочных групп — как B, то можно написать

(А A) АА = 1,

(А B) АА = 0. (13)

Следовательно, как легко заметить, что для произвольной блочной группы

(13а)

Таким образом,

А + А =0. (13б)

Из соотношения (13) следует, что равенство

АВ = 0

не требует в общем случае равенств А = 0 или В = 0, т. е. мно­жество блочных групп содержит делители нуля. Пару блочных групп, для которой выполняется равенство АВ = 0, назовем особой парой.

Пример 4. Особую пару представляют собой следующие блочные группы А и В:

Блочная группа [ ] =0 в сочетании с любой блочной группой дает особую пару.

Обобщая изложенные свойства блочных групп, можно сформулировать следующие утверждения.

Утверждение 1. Множество блочных групп, на котором определены операции сложения и умножения, образует комму­тативное кольцо. Это кольцо обычно содержит делители нуля.

Из определения суммы и произведения следуют соотношения, справедливые для любой блочной группы: