Дискретно-непрерывная математика (стр. 48 )

(7)

где Z — множество импедансов цепи.

Справедливо выражение

Для доказательства формулы для импеданса Z1 заметим, что

где ∆ — определитель системы (4), а ∆11 — минор, равный сумме величин дополнений деревьев цепи с исключенным ребром α=1.

Таким образом, ∆ = det А и ∆11 = det дА/дα, т. е.

Z Z

Справедливость формул для Ки, Гs, Zвх, Zвых доказывается аналогично.

Применение этих формул поясним на следующих примерах.

Пример 1. Определить передаточные функции Ки и Кі, а также импедансы Z1, Zвх, Zвых мостового четырехполюсника, изображенного на рис. 2, а.

Рис. 2.

Решение. Блочная группа А, для которой известно обратное изображение (рис. 2, б), определим на основании рассмотренного ранее утверждения о простых однострочных сомножителях:

А = [1 3 5] [1 4 6] [2 4 5].

Умножение первичных блочных групп производим следую­щим образом:

При расчете этого произведения вначале опускаем столбцы, в которых повторяется какой-либо элемент, а затем в полученной блочной группе вычеркиваем четное число одинаковых столб­цов (в данном случае имеются два одинаковых столбца, содержа­щих элементы 1, 4, 5).

Далее рассчитываем алгебраические производные дА/д1 и дА/д2. Получаем

Одинаковые столбцы блочных групп дА/д1 и дА/д2 обведены рамкой. Исходя из ориентации ребер α = 1 и β = 2 в графе (рис. 2, б), определяем знаки функции совпадения. В результате находим

Определим также обратные производные δА/δ1 и δА/δ2

На основании формул (2) теперь можно написать все искомые величины

Из проведенных расчетов можно сформулировать некоторые замечания. Прежде всего данный метод позволяет обойтись без записи уравнений Кирхгофа и их решения. Все операции доволь­но просты и производятся над индексами ребер графа, благодаря чему в ходе расчета получается сжатая форма записи всех проме­жуточных формул. Дополнительное преимущество метода заключается в принципиальной возможности записи всех интересующих зависимостей по известной рассчитанной блочной группе А и нескольким ее алгебраическим и обратным производным.

Пример 2. Определить передаточную функцию напряжения Ки и тока Кі для четырехполюсника (перекрытый Т-образный мост, рис. 3, а).

Рис. 3.

Решение. Блочную группу с заданным обратным изо­бражением (рис. 3, б) рассчитаем на основании рассмотренной ранее теоремы о простых однострочных сомножителях::

А = [134] [236] [456].

В результате имеем

а также

Функция совпадения равна

Отсюда

Пример 3. Определить передаточную функцию U/E лестнич­ного четырехполюсника (рис. 4, а).

Рис. 4.

Решение. Упростим расчеты, заменив часть графа, рас­положенную справа от ветви с напряжением U, одним новым ребром (рис. 4, в). Рассчитаем блочную группу упрощенного графа

Откуда

и

Выражение искомой передаточной функции запишется в виде

Импеданс z9 (рис. 4, в) рассчитаем по формуле

где

А=[5 6] [6 7 8] = =[6 7 8],

Поэтому

Пример 4. Определим рабочее затухание пассивного четы­рехполюсника (рис. 5, а).

Рис. 5.

Решение. Имеем (рис. 5, б)

А = [1 2] [2 3 5] [4 5 8],

т. е.

а также

окончательно

где

Пример 5. Определить передаточную функцию Кі, пас­сивного четырехполюсника (рис. 6, а) с импедансом нагруз­ки z9.

Рис. 6.

Решение. Так как передаточная функция тока определяется по формуле

то, приняв α = 1, β = 9, можно упростить расчеты и рассмо­треть граф с исключенным ребром α = 1. Блочная группа A1 такого графа в соответствии с определенным ранее свойством 1 равно про­изводной дА/дα, т. е. А1=дА/дα. Это число равно следующему произведению однострочных блочных групп (рис. 6, б):

A1 = [2 3 4 5] [4 5 6 7] [5 7 8 9].

После умножения получим

В этом произведении дважды встречаются столбцы, содержа­щие числа 2 5 7, 3 7 5, 4 5 8, 5 4 9, которые вычеркиваются. Три столбца этого произведения содержат числа 4 5 7. Согласно определению произведения блочных групп, оставляем из них только один, например 4 7 5. Отыскание одинаковых столбцов можно упростить, поделив столбцы блочной группы на «блоки», состоящие из столбцов, имеющих два первичных идентичных элемента. В нашем примере такие блоки разделены пункти­ром. Идентичные столбцы встречаются в разных блоках. После деления на блоки найти идентичные столбцы относительно легко.

Для вычисления производной

заметим, что (рис. 6, б)

А = А1[1 3 5 8],

поэтому

[1 3 5 8].

Так как

то после элементарных расчетов получим

Рассматривая ориентацию ребер 1 и 9 в контурах, оставшихся после исключения из графа ребер, определяемых отдельными столбцами блочной группы С, найдем знаки слагаемых функции совпа­дения.

Получим

(8)

Искомую передаточную функцию тока можно выразить в виде отношения многочленов N и М

Kі = N/M,

где N определяется выражением (8), а многочлен М равен

Характеристические функции четырехполюсника можно также выразить через проводимости. Тогда формулы передаточных функций напряжения и тока будут иметь вид

(9)

В этом случае геометрическое изображение блочной группы А представляет собой граф цепи. Тогда блочную группу можно определить согласно приведенному ранее утверждению о простых однострочных сомножителях. Ребро α представляет собой ветвь источника, ребро β — измерительную ветвь, Y — множество проводимостей цепи.

Знаки слагаемых функции совпадения определяем так же, как и при записи характеристических функций через импедансы для данного обратного геометрического изображения. При этом замыкаем ребра, определяемые отдельными слагаемыми этой функции, и исследуем ориентацию ребер α и β.

Так как имеются две дуальные формы записи характеристиче­ских функций, то первые из них [формулы (2)] назовем импедансными, а вторые [формулы (9)] — адмитансными.

Приведем примеры практического применения формул (9).

Пример 6. Определить с помощью адмитансных формул передаточные функции напряжения Ки и тока Kі мостового четырехполюсника (рис. 2).

Решение. Так как в этом случае геометрическое изображе­ние блочной группы представляет собой граф цепи, то на основании утверждения о простых однострочных сомножителях получаем

А = [1 3 6] [2 3 5] [2 4 6],

откуда

а также