Дискретно-непрерывная математика (стр. 57 )

причем эта сумма не имеет дефекта.

Вынося А4а за скобки, получаем

(в)

Заменим блочные группы второго ранга в этом выраже­нии полными блочными группами. Все блочные группы второго ранга, кроме первой и последней, одностолбцовые, поэтому пре­образуем их в полные блочные группы путем замены их блочных групп первого ранга полными блочными группами.

Блочная группа с двумя столбцами

таблица порядков которого имеет одинаковые столбцы, заменим полной блочной группой, используя при этом замещающие графы модулей Г1а, Г2, Г3 и соответственно дополняя скелет Г0 ребрами f1, с2 и f3 (пунктирные линии на рис. 16, в). Тогда

и

(г) Отдельные дендритные веса равны

(д)

Аналогично другую блочную группу второго ранга с дву­мя столбцами в выражении (в) заменим полной блочной группой. После перехода к функциям совпадения и к детерминантным функциям получим

(е)

Это выражение представляет собой функцию совпадения модуль-схемы (рис. 16, а), выраженную через функции совпадения и детерминантные функции отдельных модулей схемы. Для нагляд­ности на рис. 17 показаны схемы многополюсников для неко­торых функций совпадения формулы (е).

Рис. 17. Обозначения путей, функций совпадения, передаточных функ­ций и входных импедансов многополюсников в различных стадиях замы­кания.

Определяя их, нужно использовать обозначения путей, соединяющих отдельные вер­шины скелета Г0 (рис. 16, в). Заметим, что в этой формуле равны следующие слагаемые:

Y

и

так как

A1bc =A1bf и А3ab = A3af.

Для расчета коэффициента передачи Ka1a4 рассматриваемой молуль-схемы необходимо определить полную блочную группу , модуль-графа Г. Таблица порядков Pa1 [выражение (б)] этой блочной группы содержит два одинаковых столбца (X1), которые в выраже­ниях (г) и (д) заменены на полные блочные группы. Аналогично поступаем с другой парой одинаковых столбцов (Х5). Обозначив через ∆ детерминантную функцию , можно записать следующее выражение для детерминантной функции блочной группы :

(ж)

Коэффициент передачи Ka1а4 рассматриваемой модуль-схемы получаем, поделив выражение (е) для функции совпадения схемы на выражение (ж) для детерминантной функции схемы

Поделив в последнем равенстве числитель и знаменатель на произведение

∆1∆2∆3∆4 = ,

найдем коэффициент передачи напряжения Ka1а4 рассматривае­мой модуль-схемы, выраженный через коэффициенты передачи напряжения и входные импедансы отдельных многополюсников схемы. Числитель коэффициента передачи будет иметь вид

а знаменатель

В этих выражениях использованы обозначения:

K1abc — коэффициент передачи напряжения многополюсника W1 между путями а1 и b1 с замкнутым путем с1;

К3ad — коэффициент передачи напряжения многополюсника W3 между путями а3 и d3;

K1acb — коэффициент передачи напряжения многополюсника W1 между путями а1 и c1 с замкнутым путем b1;

………………………………………………………

Z1abc — импеданс многополюсника W1 с замкнутыми путями b1 и с1, измеренный относительно пути а1;

Z1ас — импеданс многополюсника W1 с замкнутым путем c1, измеренный относительно пути a1;

Z3b — импеданс многополюсника W3, измеренный относитель­но пути b3;

Некоторые из этих обозначений поясняет рис. 17.

Последний пример иллюстрировал способ определения коэф­фициента передачи напряжения модуль-схемы через внешние пара­метры отдельных многополюсников, не учитывая при этом их внутренней структуры.

Представим теперь второй способ определения коэффициента передачи напряжения модуль-схемы, который во многих практиче­ских случаях может быть более удобным, чем предыдущий.

В общем случае адмитанс Yαβ и импеданс Zαβ линейной модуль-схемы можно выразить через адмитанс уk и импеданс zk ветви k

где а', b', с', d', а", b", с", d" — величины, не зависящие от уk и zk. Применяя теорему Эйлера для однородных функций, послед­ние выражения можно записать в виде

(43)

(44)

где g — число ветвей цепи.

Составляя баланс мощности для пассивной цепи, питаемой от идеального источника напряжения Еαβ, и пользуясь форму­лой (43), получим

т. е.

где Uk — напряжение ветви k, Yαβ — входной адмитанс цепи.

Чтобы это уравнение было справедливо при произвольных величинах yk, необходимо выполнение равенства

(45)

Эту формулу можно также применять для пары узлов {μ, ν}, не соединенных ветвью k, так как всегда можно предположить, что такая ветвь имеет адмитанс yk = 0.

Обозначим через а и с произвольные пути между парами вер­шин {α, β} и {μ, ν} графа Г электрической цепи (рис. 18).

Рис. 18. Модуль-граф че­тырехполюсника с обозна­ченными входными и вы­ходными путями.

Если — полная блочная группа графа Г, то на основа­нии формулы (45) напишем

(46)

Применив операцию перемещения нижних индексов, эту фор­мулу приведем к виду

(47)

Сравнивая ее с формулами (27) или (28), заметим, что выражение под корнем

равно квадрату разности двух полных блочных групп. Необходимым условием существования геометрического изображения блочной группы А будет условие существо­вания действительного корня. Кроме того, из соотношения

(48)

следуют формулы перехода.

Выражения (47) можно также записать в виде

(49)

где

После элементарных преобразований формула (49) примет вид

(50)

где Za — входной импеданс цепи, Zc — выходной импеданс цепи, Zca — выходной импеданс цепи с замкнутым входом.

Из формул (49) и (50) невозможно определить знак коэф­фициента передачи Кас. На практике знак Кас не всегда пред­ставляет интерес, или в противном случае его можно определить, например, путем рассмотрения одного 2-дерева в графе Г, которое служит изображением столбца одной из двух блочных групп, полученных в результате вычисления выражения

Из сравнения формул (46), (47), (49), (50) следует, что практически самой удобной является формула (50), которая при анализе модуль-схем позволяет рассчитать Кас без рассмотрения структуры отдельных модулей.