Дискретно-непрерывная математика (стр. 64 )

п ≥ — l, n≥ l (из выражения для знаменателя).

Таким образом, должно выполняться неравенство

п ≥ Мах{ — l + 1; l -υ + 1; — l; l}. (23)

Могут иметь место два частных случая:

а) = . Тогда

пмин = Max{ — l + l, l — υ + 1, l }.

В этом случае выражение (23) будет минимальным для υ = 0

при — l + 1 = l + 1, а для υ > 0— при — l + 1 = l.

Обозначив l 0 значение l, при котором п = min, получим

Очевидно, l0 должно быть целым числом. Можно заметить, что

приводят к одинаковой величине

пмин = .

б) <.

Тогда

пмин = Max{l — υ + 1, — l, l }.

В этом случае выражение (23) для υ= 0 будет минимальным при l + 1 = — 1, а для υ > 0 — при l = — 1.

Следовательно, имеем

Легко заметить, что как для четных, так и нечетных мини­мальное значение п равно

пмин = .

Так как степень знаменателя приведенной к стандартному виду передачи должна быть равна числу множителей в каждом из слагаемых det Ad, а с другой стороны, это число равно числу т

Z

простых множителей, на которые разлагается Ad

Ad = P1P2 . . . Рт,

то на основе приведенной ранее теоремы заключаем, что п равно цикломатическому числу графа, реализующего заданную передачу, т. е. п = М и

Заметим, что М имеет минимум при . Доказанная теорема может быть использована при синтезе четырехполюсников методом блочных групп, так как она позволяет определить класс графов, реализующих заданную пере­дачу четырехполюсника.

Теорема 2. В произвольном пассивном RLC-четырехполюснике число XL индуктивностей и число XR резисторов удовлетворяют следующим неравенствам:

2XL + XR ≥ + 1

или

(24)

2XL + XR ≥ ,

где — степень знаменателя передаточной функции четырех­полюсника.

Первое неравенство относится к случаю, когда полином в чис­лителе функции содержит свободный член (υ = 0), второе — когда в числителе отсутствует свободный член (υ > 0).

Доказательство. Допустим, что передаточная функция запи­сана в виде (19) и пусть справедливо равенство (21). Умножая числитель и знаменатель выражения (19) на множитель s-l, приведем его к стандартному виду

(25)

где bv и аμ — ненулевые коэффициенты при наибольших степенях числителя и знаменателя KS, имеющие следующий вид:

(26)

где

Mk+μ + 2Nk = n,

M*k+ν+ 2N*k = n-1.

(27)

В выражении (26) мы приняли, что μ, v > 0. Можно пока­зать, что случай, когда μ,v<0, не изменяет условия теоремы. Из доказательства теоремы 1 следует, что

п ≥ Мах{ — l - 1; l -υ + 1; — l; l}, ≤. (28)

Рассмотрим случай <. Тогда для п можно написать

а) при υ = 0

(29а)

откуда

n-l=l, 2, 3, ...;

б) при υ > 0

(29б)

откуда

п —l = 0, 1, 2, ... .

Обозначим

μ + Nk = XLk, v + N*k = X*Lk. (30)

Подставляя (30) в (27), получим

2XLk +Mk = n + μ, 2X*Lk +М*k = n — 1+v. (31)

Так как

μ = — l, v = — l,

то можно написать

2XLk + Mk = + (n-l),

2X*Lk +М*k = +(n-l)-1. (32)

Принимая во внимание выражения (29а) и (29б), запишем

а) для υ=0, <

2XLk + Mk ≥ +1, 2X*Lk +М*k ≥ ; (33)

б) для υ>0, <

2XLk + Mk≥, 2X*Lk +М*k ≥ -1. (34)

Если теперь XL — число индуктивностей, a XR — число рези­сторов четырехполюсника, то легко заметить, что

XLk, X*Lk ≤XL, Мk, М*k ≤XR. (35)

Учитывая это в выражениях (33) и (34). получим

а) для υ=0, <

2XL + XR ≥+1, 2XL + XR ≥ ; (33а)

б) для υ>0, <

2XL + XR ≥, 2XL + XR ≥ -l. (34а)