Дискретно-непрерывная математика (стр. 59 )

Блочная группа графа Г исходной схемы равна

А = [1 3 61 [2 5 6] [3 4 5].

Для определения адмитанса у1' рассчитаем конъюнкцию

следовательно.

Для расчета адмитанса у2' рассчитаем конъюнкцию

Таким образом,

Аналогично рассчитаем у3'

Пример 12. Для модуль-схемы (рис. 22, а) построить схему замещения с тремя узлами, показанную на рис. 22, б, рассчитать адмитансы ветвей этой схемы замещения, построить схемы заме­щения отдельных модулей исходной схемы.

Рис. 22.

Схема замещения изо­бражена на рис. 6.22, в; граф Г'z ее представлен на рис. 22, г.

В соответствии с формулой (57) рассчитаем адмитансы отдель­ных ветвей схемы замещений (рис. 22, в)

(а)

— адмитанс многополюсника W1 с замкнутым путем b1, измеренный относительно пути а1,

……………………………………………………………………………

— адмитанс многополюсника W2 с замкнутым путем с2, измеренный относительно пути а2.

Теперь рассчитаем адмитансы ветвей схемы замещения (рис.22,б).

Для этого вычислим блочную группу графа Г'z (рис. 22, г)

A'z = [а1 c1] [b1 с1 а2 с2] [b2 с2].

Найдем конъюнкцию

В результате получаем

Подставив выражение (а) в последнюю формулу, получим

Аналогично рассчитываются адмитансы у2 и у3.

9.3.6. Преобразование активных модуль-схем

Рассмотрим активную блок-схему с выделенными vz узлами, содержащую независимые источники питания. Эта схема может быть самостоятельной цепью, отдельным многополюсником или частью большой схемы. Не учитывая внутренней структуры схемы, допустим, что известны ее внешние параметры, т. е. меж­узловые напряжения на ветвях любого дерева, построенного на выделенных узлах этой схемы, токи выделенных узлов схемы, а также входные импедансы или адмитансы схемы при различных вариантах замыкания выделенных узлов.

Заметим, что если известны межузловые напряжения на ветвях произвольного дерева, построенного на выделенных узлах схемы, то можно легко определить все остальные межузловые напряже­ния этой схемы.

Схемой замещения рассматриваемой модуль-схемы будет схема с vz узлами, построенная из vz(vz — 1)/2 ветвей, образующих полный многоугольник.

Адмитансы этих ветвей рассчитываем методами, описанными в предыдущем разделе. Токи узлов схемы замещения должны быть равны токам в узлах рассматриваемой модуль-схемы, также как и межузловые напряжения схемы замещения должны быть равны соответствующим межузловым напряжениям модуль-схемы. Из вто­рого закона Кирхгофа следует, что достаточно, чтобы равенство соответствующих напряжений выполнялось только для vz — 1 межузловых напряжений. Таким образом, для расчета напряже­ний источников напряжения схемы замещения достаточно соста­вить vz — 1 независимых уравнений. Отсюда вытекает, что схема замещения должна содержать не более

vz — 1 источников напря­жения. Эти источники не могут быть размещены в ветвях, обра­зующих контур, т. е. они должны находиться в ветвях, образую­щих произвольное дерево схемы замещения.

Для расчета напряжений этих источников составляем vz — 1 уравнений для токов в vz — 1 узлах схемы замещения. Для любого узла μ схемы замещения (рис. 23) уравнение для токов имеет вид

(59)

или

(60)

Рис. 23. Схема части замещающей цепи с узлом μ.

Знаки в приведенных формулах справедливы для направле­ний напряжений и тока Іμ в узел μ (рис. 23). При противоположном направлении напряжений или тока в вышеприведен­ных формулах нужно изменить знак.

После решения системы этих линейных уравнений получаем искомые напряжения Еі источников схемы замещения.

Замечание. Для упрощения расчета источники следует разместить в ветвях, инцидентных одному узлу схемы замещения.

Тогда можно непосредственно составить выражение для каждого искомого напряжения источника. Способ расчета напряжений источников в схеме замещения иллюстрирует следующий пример.

Пример. 13. Рассчитать напряжения источников схемы заме­щения (рис. 24, б) по известным напряжениям между узлами модуль-схемы рис. 24, а.

Рис. 24.

Составим уравнение для тока узла μ1 схемы замещения:

- Е1у1 = - U1 у1 + (U3 – U1) у0 + (U 2 + U3 – U1) у4+ І1.

Из этого уравнения следует

Е1 = U1 - (U3 – U1)( у0/ у1) -(U 2 + U3 – U1) ( у4/ у1) -( І1/ у1).

Аналогично, составляя уравнения для тока узлов μ3 и μ4, получим

Значения адмитансов ветвей схемы замещения у1, у2, . . ., у6 рассчитаем любым из методов, описанных в предыдущем разделе. Например, в соответствии с уравнением (57) имеем

у1= (1/2)(Y123 + Y124 — Y312) ,

где Y123 — адмитанс модуль-схемы (рис. 24, а) при коротком замыкании узлов μ2, μ3 и μ4, измеренный между узлами μ1 и (μ2 + μ3+ μ4); Y124— адмитанс модуль-схемы при коротком замыкании узлов μ1, μ3 и μ4, измеренный между узлами μ2 и

(μ1 + μ3+ μ4); Y312— адмитанс модуль-схемы при коротком замыкании узловых пар μl, μ2 и μ3, μ4 измеренный менеду узлами (μl+ μ2) и (μ3+ μ4).

Аналогично рассчитываются адмитансы других ветвей схемы замещения.

9.4. Анализ электрических цепей с помощью переключающих схем и методом циклов

Изложенные в данном разделе методы анализа электри­ческих схем основаны на соотношениях (14) и (28). Они дают возможность относительно просто определять параметры схем без решения систем уравнений, а также автоматизировать анализ электрических цепей с помощью ЭЦВМ.

9.4.1. Анализ электрических цепей с помощью переключающих схем

9.4.1.1. Переключающая схема

Описываемый ниже метод опирается на понятие переключаю­щей схемы, называемой также нуль-импедансной схемой и кратко обозначаемой ZI.

Определение 1. Переключающей схемой будем называть схему, построенную из электрических ключей (контактных и безконтактных), соединенных между собой проводниками, с такой же самой топологической структурой, как рассматриваемая электри­ческая схема, причем каждой ветви рассматриваемой схемы соот­ветствует один ключ в схеме ZI. На рис. 1 представлены для примера схема электрической цепи и соответствующая переключающая схема ZI.

Рис. 1. Электрическая цепь с источниками тока и напряжения: а) схема цепи; б) схема переклю­чающей цепи ZI.

На схеме рассматриваемой цепи (рис. 1, а) у1, у2, . . ., у5 обозначают проводимости отдельных ветвей этой цепи; α, β, γ и δ — узлы; E2 и E4 — э. д. с. источников напряжений; I1, I2 и

I3 = I4 + I2 — токи источников тока, a U3 и U 4 — искомые напряжения вет­вей у3 и y4.

На схеме цепи ZI (рис. 1, б) символы 1,2, . . ., 5 обозна­чают ключи. Ключ 1 соответствует ветви y1 рассматриваемой электрической цепи, ключ 2 — ветви у2 и т. д. Символы ; α, β, γ и δ обозначают узлы цепи ZI, соответствующие также обозначен­ным узлам рассматриваемой цепи.

С помощью ключей можно создать дерево в цепи ZI, т. е. галь­ванически соединить все узлы цепи ZI так, чтобы не было ни одного контура.

Например, если в цепи ZI, показанной на рис. 1, замкнуть ключи 2, 3 и 4 и разомкнуть ключи 1 и 5, то образуется дерево, показанное на рис. 2, а.

Рис. 2. Схемы деревьев цепи ZI (исходная цепь — рис. 1, б).

Это дерево имеет v — 1 замкнутых ключей, причем v обозначает число узлов цепи ZI.

В цепи ZI можно создать Г различных деревьев, причем

, (1)

где — симметричная узловая матрица цепи ZI порядка

v — 1, у которой диагональные элементы aγγ равны числу прово­дов, соединяющихся в отдельных узлах, а остальные элементы aδε = aεδ равны числу ключей, соединяющих узлы δ и ε, имеют отрицательные знаки. Например, в цепи ZI, показанной на риc. 1, б, можно образовать