Дискретно-непрерывная математика (стр. 50 )

Напряжение произвольной ветви можно выразить аналогич­ным образом:

(15)

где Kvu — передаточная функция напряжения для ветви v.

Рассмотренный на примере четырехполюсника метод может быть использован при анализе любых взаимных цепей, не содер­жащих зависимых источников.

Используя выведенные ранее формулы (2) для передаточных функций тока и напряжения, можно найти распределение токов в цепи и напряжения на отдельных ветвях. Тем же методом можно определить напряжение любой пары вершин цепи. В этом случае достаточно определить

(16)

где Dβ — блочная группа, соответствующая пути между инте­ресующими нас вершинами, но не проходящего по ребру α.

Практическое использование этого метода покажем на при­мерах.

Пример 13. Определить токи І4 и І5 цепи (рис. 15, а) с двумя источниками напряжения.

Рис. 15.

Решение. Имеем (рис. 15, б)

А = [1 3 41 [2 3 51 [4 5 6],

или

а производные равны

Используя формулу (14), напишем

І4 = K14E1 + K24E2; І5 = К15 E1 + К25Е2,

причем, согласно уравнениям (2), имеем

Из приведенных выражений следует

Пример 14. Определить напряжение U0 цепи (рис. 16, а) с тремя источниками.

Рис. 16.

Решение. Для рассматриваемого случая блочная группа равна

А = [1 3 51 [2 3 4] =,

следовательно,

Пусть, например, путь D, соединяющий узлы а и б, описывается блочной группой [5 4] (рис. 16, б), т. е.

D = [5 4].

Тогда

Отсюда можно записать соответствующие функции совпадения

Окончательно получим

Так же довольно просто вычислить импеданс или адмитанс между произвольной парой узлов цепи. Для этого достаточно вос­пользоваться формулой

(17)

где А — блочная группа, для которой граф цепи служит обратным изображением, D — блочная группа произвольного пути, соединяющего узлы, между которыми определяется импе­данс Z.

Порядок расчета токов, напряжений или передаточных функ­ций цепи можно упростить, если вначале упростить граф цепи, заменяя параллельные и последовательные ребра одним ребром.

Для последовательного соединения ребер имеем

Zі = z1 + z2 + . . . + zn,

для параллельного соединения

9.2. Анализ активных цепей

9.2.1. Анализ цепи, содержащей один зависимый источник напряжения

Цепь, содержащая один зависимый источник напряжения, изображена на рис. 17.

Рис. 17.

Выделим ветви цепи, как показано на рис. 17. Напряже­ние Uδ на выходе с помощью блочных групп можно записать в виде

(18)

где ток Іβ равен

В этой формуле ток Іβ выражен в неявном виде. После соответ­ствующих преобразований получим

(19)

Подставив уравнение (19) в уравнение (18) и выполнив преобразования, получим выражение передаточной функции цепи, содержащей один зависимый источник напряжения:

(20)

Эта формула определяет коэффициент усиления напряжения цепи, имеющий две составляющие:

Uδ/E = К0 – К1. (21)

Составляющая К0 представляет собой усиление цепи при отсутствии активной связи, т. е. когда коэффициент усиления импедансa К = 0; составляющая K1 — дополнительное усиление, обусловленное наличием зависимого источника напряжения.

Выражение (20) можно значительно упростить, представив его в следующем виде:

где W = zβK.

Параметр W называется передаточным активным импедансом зависимого источника.

Если через L1 обозначить выражение

(22)

то выражение (20) примет вид

(23)

Выражение (22) можно упростить, учитывая, что функции совпадения определяют соответствующие миноры определителя контурных сопротивлений ∆0 исследуемой цепи (при К = 0) Имеем следующее равенство:

(24)

где ∆0μν — минор, полученный из определителя ∆0 путем вычерки­вания μ-строки и v-столбца.

Если учесть это равенство в формуле (22), то для L1 получим следующее выражение:

Из теории определителей известно, что

∆0αβ∆0γδ -∆0αδ ∆0βγ= ∆0∆0αβ,γδ, (25)

где ∆0αβ,γδ —минор, полученный вычеркиванием строк α и γ и столбцов β и δ из определителя ∆0, поэтому величину L1 можно определить непосредственно с помощью одной функции совпаде­ния, а именно

(26)

Подставив уравнение (26) в (23), окончательно получим сле­дующее выражение для усиления напряжения рассматривае­мой цепи:

(27)

Отметим, что знаменатель этого выражения представляет собой определитель матрицы контурных сопротивлений ∆ цепи, содержащей один зависимый источник напряжения. Следова­тельно,

(28)

Во всех приведенных формулах А — блочная группа, для которой граф исследуемой цепи служит обратным изображением.

Если известно усиление напряжения цепи и определитель ∆, то легко найти все остальные параметры, характеризующие эту цепь.

Например, возвратная разность равна

(29)

Эта формула следует из зависимости, полученной Боде, согласно которой

F = ∆/∆0.

Рассмотрим два частных случая.

Допустим, что импеданс zβ стремится к бесконечности (zβ→∞). Учитывая соотношение

(30)

непосредственно вытекающее из зависимости

получим формулу для усиления напряжения цепи, содержащей один зависимый источник напряжения при условии, что zβ→∞:

(31)

Рассмотрим случай, соответствующий очень сильной обратной связи, т. е. когда Kzβ→∞.

Тогда усиление напряжения выражается фор­мулой

(32)

Пример 15. Для цепи, изображенной на рис. 18, опре­делить: 1) усиление напряжения в общем случае; 2) усиление напряжения при zβ→∞; 3) усиление напряжения при Kzβ→∞;

4) возвратную разность F.

Рис. 18.

1) Для расчета усиления напряжения в общем случае вос­пользуемся формулой (27). Имеем

α = 1, β = 2, γ=4, δ=5.

Блочная группа этой цепи равна

А = [1 2 3] [3 4 5]= .

поэтому

Подставив эти величины в выражение (27), получим

2) Усиление напряжения при zβ→∞ определяем в соответ­ствии с формулой (31)

3) Усиление напряжения при Kzβ→∞ находим по форму­ле (32)