Дискретно-непрерывная математика (стр. 71 )

- обобщенная сила, приложенная к -й массе;

=1, 2,…,п.

Уравнении движения в форме уравнений сил или моментов либо в форме уравнения кинетических энергий имеют вид:

(15) (16) (17)

где — соответственно приведенная масса системы,

линейная скорость и линейное пере­мещение звена

приведения;

- приведенные значения соответственно сил движущих и сил сопротивления;

- ириведеяный момент инерции системы, угловая скорость и угловое перемещение звена приведения;

- приведенные моменты сил движущих и сил сопротивления;

Уравнения Даламбера и уравнения Лагранжа второго рода применяются для описания как жестких сис­тем (без упругих элементов), так и систем с упругими звеньями. Уравнения в форме (15)—(17) используются при описание только жестких систем.

Факторами, ограничивающими применение ука­занных методов описания, являются:

необходимость приведения и минимизации числа сте­пеней свободы элементов расчетной схемы;

зависимость трудоемкости описания от размерности расчетной схемы;

неформализованный выбор обобщенных координат сис­темы;

невозможность отобразить в уравнениях движения структуру системы.

Рассмотрим граф-аналитические методы описания расчетных схем.

Формальный алгоритм математического описа­ния расчетной схемы граф-аналитическим методом основы­вается на использовании принципа изоморфизма (взаимно­однозначного соответствия) между исследуемой системой (расчетной схемой) и конечным ориентированным графом, отображающим состав переменных и структуру системы.

Расчетная cxeмa системы рассматривается как совокупность связанных базовых элементов (компонент), например механической передачи, упругого звена, массы и т. п., имеющих известное математическое описание.

Описание каждой компоненты включает ориен­тированный полюсный граф, интерпретирующий измерение переменных в точках присоединения (на полюсах) компо­ненты, и полюсные уравнения, характеризующие функцио­нальную связь между переменными компоненты.

Измерение переменных является единственным способом количественной оценки переменных, характеризу­ющих физические свойства компоненты. Все переменные соответственно способу их измерения условно разделяются на две группы: параллельные (X) и последовательные (Y).

Математическое описание рачетной схемы стро­ится путем объединения полюсных характеристик компонент, на основе уравнений связи. Полюсные графы компонент об­разуют граф схемы, в котором вершины изображают полюса компонент, a oриентированные дуги - процедуру измерения переменных между полюсами (переменные системы).

На основе постулатов для вершин и контуров графа (обобщенных законов Кирхгофа) записываются урав­нения связи - уравнения отсечений и уравнения фундаментальных контуров, которые совместно с полюсными урав­нениями компонент составляют систему уравнений, харак­теризующих динамику исследуемой системы.

Практическая реализация данного метода опи­сания заключается в следующем. Расчетная схема разде­ляется на ряд базовых компонент с известными полюс­ными характеристиками. Полюсные характеристики некото­рых типов компонент, входящих в состав механических, электро - и гидромеханических систем, приведены в табл. 1.

Таблица 1

Полюсные характеристики компонент механических и электрогидромеханических систем

Следующим шагом является образование графа системы путем объединения полюсных графов компонент и присоединения полюсных графов внешних воздействий (кинематического и силового). Выбирается дерево (лес) графа, представля­ющее собой подграф, содержащий все вершины графа, но не имеющий контуров. Дерево графа разделяет дуги графа на ветви (относятся к дереву) и хорды (входят в допол­нение дерева).

Далее записываются полюсные уравнения компонент:

(18)

где - матрицы коэффициентов полюсных уравнений;

неизвестные параллельные и последовательные

переменные, соответствую­щие ветвям графа

схемы;

неизвестные параллельные и последо вательные

переменнные, соответстаующие хордам графа.

Следующей процедурой является составление уравне­ний:

фундаментальных контуров

(19)

где

- подматрицы матрицы коэффициентов, состоящие из чисел

- заданные параллельные переменные, соответствующие ветвям графа;

уравнений отсечений

(20)

где

- подматрицы матрицы коэффициентов, состоящие из чисел 1,-1 и 0;

- заданные последовательные переменные, соответствующие хордам графа.

На завершающем этапе уравнения (19) и (20) под­ставляются в полюсные уравнения компонент (18), после чего производятся матричные преобразования. Полученные в результате уравнения динамики системы имеют вид

(21)

где

Уравнения типа (21) представляют собой системы обыкновенных дифференциальных или алгебро-дифференциальных уравнений с числом уравнений, равным числу полюс­ных уравнений компонент, и могут быть получены как с использованием матричных операций (матрично-топологический метод), так и без них (топологический метод).

При топологическом методе вывод уравнений системы заключается в подстановке в пслюсные уравнения компонент (18) вместо переменныхих значений, полученных на основе выражений:

(22) (23)

Узловые уравнения (22) и контурные уравнения (23) являются частью соответственно уравнений (20) и (19) и составляются на основе отсечений и фундаментальных кон­туров графа системы. Алгоритм описания расчетных схем топологическим методом в виде блок-схемы изображен на рис. 4.

Рис.4

Топологический метод универсален и позволяет описывать как линейные, так и нелинейные системы с лю­бым числом компонент, Матрично-топологический метод эффективен при описании только линейных систем с небольшим числом компонент.

Оба метода формальны, инвариантны относительно раз­мерности систем и физической природы компонент и позво­ляют учитывать параметры систем и их структуру в явном виде.

Для осуществления математического описания расчетных схем с большим числом компонент разной физи­ческой природы применяется блочный метод описания.

Процесс описания сложной системы блочным методом состоит из следующих операций:

разделения сложной системы на блоки;

составления уравнений блоков;

преобразования уравнений блоков в полюсные уравне­ния блоков;

вывода итоговых уравнений сложной системы.

На первом этапе расчетная схема системы разделя­ется на отдельные блоки, состоящие из нескольких компо­нент.

Для каждого блока топологическим или матрично-топологическим методом составляются уравнения движения типа (21). Уравнения (21) путем подстановки в яих вмес­то переменныхвнешних (заданных) последова­тельных переменных ветвей и параллельных перемен­ных хордпреобразуются в полюсные уравнения блока:

(24)

где - подматрицы матрицы коэффициентов полюсных урав­нений блока.