Парадигма развития науки. Идеологическое обеспечение (стр. 39 )

Классификация возникает в результате установления связей между элементами множества, выяснения того, какие из них нуж­но, а какие нельзя рассматривать связанными некоторым отно­шением. В классической модели познания и созидания не могут остаться элементы, не охваченные классификацией (принцип исключенного третьего), и элементы, проклассифицированные дважды (принцип непротиво­речия), т. е. попавшие одновременно в два класса. Это, конеч­но, желаемый результат, но при любой постановке проблемы таксономии могут встретиться элементы неопределенной и сом­нительной классификации, для которых можно говорить лишь о степени принадлежности к классам. В этом случае булева логика оказывается неприменимой и выявляется важность собственной глубинной логики возникшей проблемы познания и созидания.

Вопрос в том, всегда ли нужно классифицировать объекты познания и созидания, чтобы увеличить знание о них. Обычно этот вопрос решается построением последовательности все более «тонких» классификаций. В результате останавливаются на классификации, которая удов­летворяет определенному критерию познания и созидания. При такой процедуре каждый раз увеличивается число различий, которые мы в состоянии про­вести между элементами познания и созидания из S (строится более «тонкая» класси­фикация), но также растет и число разумных градаций степеней неопределенности или нечетких вопросов. Модель познания и созидания становится более сложной, но зато интерес к проблеме познания и созидания возрастает. За ис­ключением случая, когда разрастание классификации вызвано стремлением изучить различающие характеристики всей совокуп­ности объектов познания и созидания в целом, как при построении таксономического дерева биологических видов или таблицы Менделеева, чрезмер­ный рост числа классов вряд ли приведет к улучшению наших знаний об объектах познания и созидания.

Для таких проблем познания и созидания, по-видимому, пригоден обобщен­ный подход. Заде предложил «единую точку зрения на раз­личные разработанные ранее методы решения такого рода проб­лем, возникающих в факторном анализе, числовой таксономии, в задачах распознавания образов и анализе близости». Эта точка зрения опирается на теорию нечетких множеств или, точнее, на нечеткие отношения, — обобщение понятия отношения экви­валентности на нечеткие множества, что привело к понятию от­ношения сходства и позволило применить теорию отношений в ситуациях, в которых, как уже указывалось, рассматриваемые классы не имеют ясно очерченных границ.

После появления работ Заде многие авторы исследовали раз­личные теоретические и практические аспекты нечетких отноше­ний, однако связи между нечеткими разбиениями (или нечеткими классификациями) изучены слабо. А поскольку обе проблемы тесно связаны, то не существует и общепринятого определения нечеткого разбиения.

С другой стороны, последнее понятие понадобилось для прод­вижения вперед в смежных проблемных областях, где его при­менение в той или иной форме приводило к интересным резуль­татам. В качестве примера можно указать на случай, когда уже упоминавшиеся семейства разумных вопросов рассматриваются с помощью введения понятия нечетких алгебр, порожденных не­четкими разбиениями. Поскольку в любой неопределенной логике важную роль играет уровень симметрии принятой модели многозначной логики, то целесообразно прояснить понятие уровня строгим определением в терминах рассматриваемого нечеткого разбиения. Например, поскольку нечеткие алгебры, рассматри­ваются как алгебры де Моргана, замкнутые относительно преоб­разований Ватанабэ, то введенные определения нечеткого раз­биения должны быть адекватными задаче анализа результатов таких преобразований, с их помощью как бы описываются инва­рианты. Однако при этом не должно возникнуть уверенности, чта источником нечеткости служит четкая основа, что означало бы принятие посылки о достоверном существовании инвариантного ядра четкости в любом нечетком понятии. Это напоминает о связи данной проблемы с вопросами сущест­вования сильной зависимости между евклидовой геометрией, арис­тотелевой логикой и кантианской метафизикой.

В рассматриваемом разделе дается общая основа для исследо­вания связей между нечеткими разбиениями и отношениями по­добия. Для пояснения цели изучения, кратко рассмат­ривается классический случай. Напоминается, как покрытия и чет­кие разбиения можно описать через отношения сходства и экви­валентности. Даются естественные обобщения покрытия и отношения сходства на нечеткий случай. Лемма 1 п.3.8.2 показывает, как для каждого покрытия Σ нечеткого множества U можно по­строить отношение сходства RΣ на U; обратное утверждение фор­мулируется в теореме 1 п.3.8.2, где вводятся понятия предкласса и класса отношений похожести. Покрытие интерпретируется через нечеткие отображения, а нечеткие отношения похожести также описываются через нечеткие отображения. Отно­шения сходства изучаютея как важный частный случай отноше­ний нечеткой похожести. При заданном покрытии Σ нечеткого множества U теоремы 1 и 2 п.3.8.3 устанавливают необходимые и достаточные условия того, что R есть отношение подобия, и ис­следуются связи между классами подобия и классами, рас­сматриваемыми в п. 3.8.2. Затем определяется нечеткое разбиение П как покрытие, характеризуемое отношением подобия, ассоцииро­ванным с П-множеством классов подобия в S; такое частное раз­биение характеризуется теоремой 5 п.3.8.3. Наконец, на основе пре­дыдущих результатов обобщаются на нечеткий случай понятия фактор-множества и канонического отображения. В результате совершенно ясной становится аналогия между представленной в разделе теорией нечетких разбиений и классической теорией чет­ких разбиений.

3.8.1. Объекты познания и созидания и их свойства

В этом разделе рассматриваются общие механизмы «похожес­ти» и «одинаковости». Однако их следует расценивать только как мотивацию более детального рассмотрения, проводимого в сле­дующих разделах.

Пусть М — конечное множество объектов познания и созидания и N — конечное мно­жество свойств, таких, что любой объект познания и созидания аМ обладает, по край­ней мере, одним свойством iN. Если через Pi обозначить под­множество всех объектов познания и созидания аМ, которые обладают свойством i, то, очевидно,

(1)

В более общем случае элементы множества N могут рассматри­ваться как названия или «имена» свойств, а подмножества Pi — как «модели» этих свойств. Любое семейство подмножеств множества М, удовлетворяющее (1), называется покрытием множе­ства объектов познания и созидания. Обратно, если дано покрытие (1) множества М, то Pi можно рассматривать как свойство «объект познания и созидания принадлежит множеству Pi» с именем і. В этом смысле существует взаимно­однозначное соответствие между семействами свойств и покры­тиями.

Этой конструкцией порождается очень важный механизм от­ношений сходства. Именно, будем говорить, что два объекта познания и/или созидания сходны, если они наделены общим свойством. Формально это по­нятие похожести можно описать следующим образом. Пусть R — бинарное отношение на М, определенное условием

xRy, тогда и только тогда, когда существует

имя iN, такое, что х, у iPі. (2)

Отношение R — рефлексивное и симметричное. Такие отношения называются отношениями сходства. Легко видеть, что определен­ное согласно (2) отношение сходства, вообще говоря, не обя­зательно должно быть транзитивным. Заметим, однако, что не­транзитивность обычно возникает вследствие сравнения по разли­чающимся параметрам или свойствам. Пусть, например, автомо­били а и b одного и того же цвета, а b и с — одной и той же цены. Тогда а сходно с b и b сходно с с, но а и с могут отли­чаться по цвету и цене.

Понятие отношения сходства дает более абстрактное описание похожести, чем описание на языке покрытий. Пусть R — отноше­ние сходства, определенное на множестве М, т. е. некоторое реф­лексивное и симметричное отношение. Мы будем говорить, что х сходно с у тогда и только тогда, когда xRy. Свойства рефлексив­ности и симметрии наиболее общим образом характеризуют по­хожесть. И тем не менее оказывается, что отношения сходства дают описание похожести, эквивалентное описанию с использо­ванием понятия покрытие. А именно, для любого данного отно­шения сходства существует покрытие, которое по условию (2) порождает это отношение. Таким образом, имеются два эквива­лентных механизма похожести, нечеткие обобщения которых бу­дут изучаться далее.

Есть один очень важный частный случай описанной структу­ры, когда каждый объект познания и созидания из М обладает точно одним свойством из набора N. Он называется проблемой классификации. В этом случае к условию (1) добавляется условие

(3)

Покрытия, удовлетворяющие (3), называются разбиениями. Лег­ко проверить, что для разбиений отношение сходства, определен­ное согласно (2), транзитивно, т. е. представляет собой отно­шение эквивалентности. Такие отношения лежат в основе мате­матических моделей обиходного понятия «одинаковости». В этом случае в распоряжении оказываются двойственные описания клас­сификации: через разбиения и отношения эквивалентности. Обобщение этой конструкции на теорию нечетких множеств будет изучаться в п. 3.8.2. В заключение заметим, что далее вместо термина «отношение эквивалентности» будет использоваться термин «отношение подобия».