Парадигма развития науки. Идеологическое обеспечение (стр. 40 )

3.8.2. Покрытия и отношения сходства

Пусть U — нечеткое множество с универсумом М.

Определение 1. Семейство нечетких множеств с

общим универсумом М называется покрытием U тогда и только тогда, когда

Далее будем предполагать, что М и N — конечные множества.

Определение 1 представляет собой естественное обобщение условия (1) п.3.8.1. В соответствии с п.3.8.1 множество N может рас­сматриваться как множество свойств. Тогда можно сказать, что Pi(x) есть степень уверенности в том, что объект познания и созидания х наделен свой­ством i. В этом контексте Pi выступает как нечеткое подмноже­ство объектов познания и созидания, обладающих свойством i.

Следующее определение представляет собой естественное обоб­щение определения (1).

Определение 2. Нечеткое бинарное отношение, определенное условием

(1)

называется нечетким отношением, ассоциированным с семейст­вом Σ.

Лемма 1. Любое отношение RΣ обладает следующими свой­ствами:

(2) (3) (4)

Доказательство. Равенства (2) и (4) очевидны. Так как всегда то отсюда следует

для всех iN. Поэтому

В силу свойства (2) нечеткое отношение RΣ симметрично. Заметим, что (3) выполняется для рефлексивных отношений. Это условие может рассматриваться как определение слабой реф­лексивности. Рассмотрим нечеткие отношения, удовлетворяю­щие свойствам (2)—(4), как аналоги четких отношений сход­ства.

Определение 3. Нечеткое отношение называется отношением сходства на нечетком множестве U в том и только том случае, если выполняются свойства (2) — (4).

Из леммы 1 следует, что любое нечеткое бинарное отноше­ние, ассоциированное с покрытием, есть отношение сходства. Сле­дующая теорема показывает, что справедливо также и обратное утверждение.

Теорема 1. Пусть R— отношение сходства на нечетком мно­жестве U. Существует покрытие Σ такое, что R= RΣ.

Доказательство. Нечеткое множество К называют предклассом отношения R в том и только том случае, если

при любых х, уМ. Множество всех предклассов R представляет собой индуктивное частично упорядоченное множе­ство. Максимальные элементы этого частично упоря­доченного множества называются классами отношения R. Обо­значим через N множество всех классов. Определим семейство нечетких множеств условием

для всех а, bМ. Тогда Ка,b в силу (2) и (3) есть предкласс отношения R при любых а, b М. Если ' — некоторый класс отношения R, содержащий Ка,b, то Поэтому

при всех х, уМ, а поскольку R есть отношение на U, т. е. — покрытие U такое, что R = RΣ, то отсюда следует

Таким образом, для каждого покрытия Σ нечеткого множества U существует отношение сходства RΣ на U, ассоциированное с Σ по определению (1), и, обратно, для каждого отношения сходства R на U существует покрытие Σ универсума U, такое, что R=RΣ. Вполне возможно, что для различных покрытий Σ1 и Σ2 окажется . Рассмотрим следующий пример.

Пример 1. Пусть М = {x1, x2, xs} и U = М.

Рассмотрим два cледующих покрытия U:

где. Легко проверить, что

Так как есть отношение сходства, поэтому есть возможность подсчитать все его классы. Оказывается, что они образуют покрытие

Следовательно, имеются, по крайней мере, три различных покрытия Σ1, Σ2 и Σ3, таких, что .

Ecли R— отношение сходства на U, a Σ — покрытие, такое, что R=RΣ, то, очевидно, что каждый элемент познания и созидания Σ есть предкласс отношения R. Поэтому классы R образуют покрытие — максимальное среди покрытий, удовлетворяю­щих условию R = RΣ. Обозначим его Σn. Тогда имеем хотя в общем случае

Пример 2. Для покрытий из предыдущего примера имеем

, а также. Oчевидно, что Σ 3 содержит как Σ1 так и Σ 2.

Любое покрытие можно интерпретировать как нечеткое отображение. Именно, рассмотрим нечеткое отображение определенное с использованием функции принадлежности Это нечеткое отображение есть соответствие между множеством объектов познания и созидания М и множеством свойств N. В классическом случае отношение сходства Rf на М, опирающееся на соответствие F, представляет собой ядро F, т. е. Последнюю формулу можно обобщить на нечеткий случай с помощью () - компози­ционного правила, которое дает

т. е. тот же результат, что и (1).

С другой стороны, для данного нечеткого отображения можно рассмотреть покрытие нечеткого множества i). Таким образом, покрытия и нечеткие отображения дают эквивалентное описание структур схожести.

3.8.3. Отношения подобия, разбиения и фактор-множества

Отношения подобия — важный частный случай отношений не­чет - кого сходства.

Определение 1. Нечеткое бинарное отношение S на М назы­вается отношением подобия на U тогда и только тогда, когда S есть симметричное и транзитивное отношение и S(x, x) = U при всех хМ.

Напомним, что нечеткое отношение S транзитивно в том и только том случае, если для всех х, у, z M. Так как отношение подобия S — симметричное и тран­зитивное отношение, то Ана­логично получаем откуда следует, что S обла­дает свойством слабой рефлексивности (3) п.3.8.2. Таким образом, от­ношения подобия составляют частный случай отношений сходства.