Парадигма развития науки. Идеологическое обеспечение (стр. 41 )

Пусть Σ — покрытие U. Согласно разд. 3.8.1 нечеткое бинарное отношение RΣ, ассоциированное с Σ, есть отношение сходства. Будет ли оно отношением подобия? Следующая теорема дает от­вет на этот вопрос.

Теорема 1. Пусть — покрытие U. Нечеткое бинарное отношение RΣ есть отношение подобия в том и только том случае, когда для каждой пары и каждой пары х, уМ найдется число k N, такое, что

(1)

Доказательство. Пусть покрытие Σ удовлетворяет условию (1). Необходимо доказать только транзитивность отношения. Согласно (1) имеем

Следовательно, RΣ — транзитивное отношение.

Теперь пусть RΣ — отношение подобия, ассоциированное с дан­ным покрытием Σ. Поскольку RΣ —транзитивное отношение, то для любого t M имеем

откуда, как и ранее, следует

Следовательно, для данных пар i, j N и x,у M существует число k N, такое, что для любого t M

откуда следует

что и требовалось доказать.

Существует и другое необходимое и достаточное условие на Σ для того, чтобы R было отношением подобия. Оно основывается на понятии множества α-уровня. Напомним, что множество α-уровня нечеткого множества А определяется как четкое мно­жество Пусть —по­крытие нечеткого множества U. Тогда очевидно, что — четкое покрытие Uα для любых

Теорема 2. Отношение сходства RΣ, ассоциированное с Σ, есть отношение подобия на U в том и только том случае, если для любого значения для каждой пары и каждой пары х, уМ, таких, чтои найдется число k N, такое, что

Доказательство. Пусть покрытие S удовлетворяет условиям теоремы и— любое действительное число. Имеем

тогда и только тогда, когда

тогда и только тогда, когда существует такое i, что

тогда и только тогда, когда существует такое i, что и

тогда и только тогда, когда существует такое I, что

Теперь легко проверить транзитивность отношения на множестве Uα. Пусть и Тогда xRy откуда в силу транзитивности отношения следует Следовательно,

т. е. R — транзитивное отношение на U.

Обратно, пусть RΣ — отношение подобия на U и Пусть также и Поскольку то существует Имеем: поскольку и посколькуТак как RΣ — отношение подобия, то RαΣ — четкое транзитивное отношение. Следовательно, откуда для некоторого k.

Теоремы 1 и 2 дают внутреннее описание тех покрытий, которые согласно (1) п.3.8.2 порождают отношения подобия.

Как и в общем случае, вполне возможно, что различные по­крытия порождают одно и то же отношение подобия. Пусть S есть отношение подобия на U. Как указывалось в п. 3.8.2, суще­ствует единственное максимальное покрытие Σ, такое, что S= RΣ. Элементы этого покрытия представляют собой классы отношения S. Классы отношений подобия допускают очень простое описание. Они оказываются классическими классами подобия.

Теорема 3. Любой класс отношения подобия S есть класс подобия [а] для некоторого

Доказательство. Напомним, что под классом подо­бия [а] понимается нечеткое множество с функцией принадлежности В силу симметричности и транзитивности S имеем

Следовательно, каждый класс [а] — это предкласс в S. Пусть Р класс из S. Обозначим через а элемент, такой, что для всех х M. Поскольку Р — класс, то имеем

а так как [а] — предкласс S, то это возможно, только если Р = [а].

В общем случае обратная теорема не справедлива. Рассмот­рим, например, отношение подобия S, определенное на множест­ве где 0<α<1, матрицей

Имеются два класса подобия, а именно,

и но только один класс S, а менно, Заметим, что

Тем не менее существует важный частный случай, в котором обратное утверждение истинно.

Теорема 4. Если S — рефлексивное отношение подобия, то каждый класс подобия [а] есть класс отношения S.

Доказательство. Предположим, что существует класс Р отно­шения S, который содержит предкласс [а], т. е. для всех хМ. Тогда откуда следует Р(а) = 1. Поскольку Р — класс, то имеем

и, значит, Р= [а].