Парадигма развития науки. Идеологическое обеспечение (стр. 46 )

а) каждая точка X принадлежит ядру некоторого элемента из C,

б) каждый элемент С имеет непустое ядро. Тогда С называется нечетким покрытием X.

Определение. Пусть r — рефлексивное, симметричное нечет­кое отношение в X. Если неравенство

удовлетворяется для всех х, у, z X, то r называется отношением похожести в X.

Теорема (существования покрытий нечеткими кластерами).

Пусть С — нечеткое покрытие X. Для того чтобы каждый элемент этого покрытия был нечетким кластером с непустым ядром, необ­ходимо и достаточно, чтобы:

а) r было отношением похожести,

б) С — нечеткое фактор-множество X по отношению r.

Примечание. Эту теорему можно сформулировать иначе:

«Необходимое и достаточное условие существования покрытия из нечетких r-кластеров состоит в том, чтобы r было отношением похожести. В этом случае покрытие единственно, а его элемен­ты —нечеткие множества с функциями принадлежности для всех х X».

Значение этого условия существования проясняется следую­щим результатом.

Утверждение. Если r — отношение похожести, то его дополне­ние d=1—r есть ограниченная псевдометрика в X.

Примечание. Этот результат, по существу, указывает, что для того, чтобы r было отношением похожести, его дополнение должно быть (псевдо) метрикой в X. Таким образом, условие по­хожести не только слабее условия эквивалентности (так как все отношения эквивалентности являются отношениями похожести), но оно также слабее условия нечеткого подобия, дополнение ко­торого должно удовлетворять более сильному неравенству ультраметрнки

описаны дополнения отношений похожести как множество рефлексивных симметричных нечетких отношений удовлетворяющих условию

При исследовании подмножества множества всех нечетких бинарных отношений в X, инвариантных к транзитивно­му расширению при различных определениях транзитивности ус­тановлено, что эквивалентный результат

(где — положительная часть функции) справедлив в том и только том случае, если r есть отношение похожести. Кроме того, установлено, что класс всех отношений похоже­сти оказался наибольшим из классов, «инвариантных к транзи­тивным расширениям» при исследовании различных определений транзитивности.

3.10.4. Отношения похожести и многозначная логика

Рассмотрим полную решетку с дополнениями LХ, порожден­ную множеством ВХ утверждений вида «точки х и у желательно отнести к одному и тому же кластеру», где х и у — любая пара элементов множества X. Обозначим через Р, Q, R, ... элемен­ты LХ.

Если оценка подобия r(х, у) любых двух точек из X приравне­на степени истинности (в шкале [0,1]) утверждения «точки х и у желательно отнести к одному и тому же кластеру», то функция подобия r определяет функцию истинности

такую, что, если

Р(х, y) ≡ «точки х и у желательно отнести к одному и тому же кластеру», то

Если область определения функции Т расширена таким обра­зом, что заключает в себе всю решетку LХ в виде формул моди­фицированной логики Лукасевича алеф1 (использование прилагательного «модифицированный» связано с тем, что некоторые из этих формул отличаются от общепринятых). Однако выписан­ные выражения более приемлемы, так как они удовлетворяют большинству ос­новных аксиом стандартной логики неопределенности и к тому же аксиоме

:

то требование транзитивности отношения, индуцированного при­надлежностью общему кластеру, можно рассматривать как экви­валентное утверждению, что составное высказывание —

Если «точки х и у желательно отнести к одному и тому же кластеру» и «точки у и z желательно отнести к одному и тому же кла­стеру», то «точки х и z желательно отнести к одному и тому же кластеру»

— всегда истинно (т. е. значение истинности равно 1) для любых х, у, z Х. Действительно, формальное представление этого выска­зывания с помощью полученных формул и определения Т через r приводит к неравенству

Поскольку это неравенство выполняется для всех троек х, у, z, то (учитывая, что r(х, х) =1) получаем

т. е. r — отношение похожести. Это доказательство легко обра­тить и показать, что если r — отношение похожести, то соответ­ствующее кластеризующее отношение обладает свойством транзи­тивности.

Итак, требование, согласно которому отношения подобия дол­жны быть отношениями похожести (т. е. дополнениями псевдо­метрик), эквивалентно транзитивности кластеризующего отноше­ния. Таким образом, в рамках модифицированной многозначной логики алеф1 кластеризующее отношение будет отношением эквивалентности в том и только том случае, если основная структура подобия определяется отношением похожести. Это — естественное обобщение соответствующего утверждения для обычных множеств о том, что кластеризующее отношение будет отношени­ем эквивалентности тогда и только тогда, когда основная струк­тура подобия задается обычным отношением эквивалентности. Су­щественное отличие нечеткого случая состоит в том, что в рам­ках многозначной логики осмысленные решения находятся для более широкого класса проблем, чем при нечеткой постановке.

Заметим, что если вместо формул модифицирован­ной алеф1 логики использовать формулы стандартной нечеткой логики Заде:

то можно показать, что условие транзитивности кластеризующего отношения эквивалентно уравнению

определяющему отношения нечеткой эквивалентности (или подо­бия, как это определено Заде.

Как было установлено ранее, требование, согласно которому отношение должно быть нечетким отношением эквивалентности, сильнее требования, согласно которому оно должно быть отноше­нием похожести. Имея это в виду, заметим, что отсюда можно не­посредственно проследить различие выражений, которые опреде­ляют степень истинности T(P∩Q) в модифицированной логике Лукасевича и логике Заде.

В логике Заде степени истинности для конъюнкции P∩Q при­сваивается наибольшая оценка, совместимая с требованием к Т. С другой стороны, в модифицированной логике Лукасевича она получает наименьшее значение, совместимое с оценочными аксиомами. Это наблюдение также важно для лучшего понимания, сущности сравнительных результатов работы.

3.10.5. Обобщение понятия кластера

Как уже установлено, необходимое и достаточное условие су­ществования нечетких кластеров состоит в том, чтобы отношение было отношением похожести. В этом случае все множества, име­ющие степень принадлежности, задаваемую выражением

будут кластерами и поэтому могут быть выбраны в качестве ком­понентов кластеризации выборочного множества. Если отношение подобия представить как симметричную матрицу с единицами на главной диагонали, то строки (или столбцы) этой матрицы — не­четкие множества будут одновременно и нечеткими кластерами.

Определение. Если g — кластер, а х — точка, такая, что

g (х) = 1,

то х будем называть прототипной или типичной точкой класте­ра g.

Как следует из результатов п. 3.10.3, для каждой точки множе­ства X (которое может быть больше выборочного множества) най­дется по крайней мере один кластер сХ, содержащий ее в качест­ве типичного элемента. В связи с этим возникает во­прос: может ли определение кластера быть обобщено так, чтобы включать кластеры, содержащие в качестве типичных элементов точки, которые не относятся ни к выборочным данным, ни к боль­шему множеству элементарных исходов X.

В некоторых задачах познания и созидания множество X можно легко вложить в большее пространство, и поэтому точки этого прост­ранства могут стать кандидатами в прототипы. С примером тако­го вложения мы встречаемся в случае, когда X есть конечное множество точек евклидова пространства, и точки, отличные от точек из X, выбираются в качестве прототипов. Однако в боль­шинстве задач познания и созидания мало известно о каких-нибудь содер­жательных структурах выборочного множества сверх того, что можно получить из функций подобия.

Однако даже и в этих случаях выборочное множество можно разумно вложить в бóльшую структуру, рассматривая множество всех подмножеств Р(Х) пространства элементарных исходов вместе с естественным вложением, которое отображает точки мно­жества X в одноэлементные подмножества X. Эта основная идея используется в методах объединения или склеивания, в кото­рых кластеры образуются заменой совокупности точек единым центроидом (не обязательно соответствующим точке выборочно­го множества или пространства, в которое это множество вложе­но). Затем степени подобия между исходными точками и этим воображаемым центроидом подсчитываются как функции известных подобий точек выборочного множества.