Парадигма развития науки. Идеологическое обеспечение (стр. 42 )

Следствие 1. Классы рефлексивных отношений подобия в точ­ности совпадают со своими классами подобия.

В общем случае любой класс отношения подобия S представ­ляет собой максимальный класс подобия, т. е. класс подобия, ко­торый не содержится ни в каком другом. Поскольку классы подобия становятся известны, как только известно S, легко опре­деляются и классы S.

Покрытия, элементы которых составляют классы подобия, иг­рают важную роль в теории отношений подобия.

Определение 2. Покрытие называется разбиением

тогда и только тогда, когда существует отношение подобия S, такое, что П есть множество всех классов подобия S.

Так определенные нечеткие разбиения допускают независимое описание во внутренних терминах. А именно, для любого данного покрытия построим семейство четких множеств :

Если есть четкое разбиение М, то для каждого элемента познания и созидания аМ существует единственное значение і, такое, что и для каждого i N существует элемент познания и созидания а, такой что Положим, по определению, тогда и только тогда, когда Используем также обозначение для Пi, если

Теорема 5. Покрытие П есть разбиение тог­да и только тогда, когда

(2)

Доказательство. 1. Пусть П — нечеткое разбиение, т. е. имеется отношение подобия S, такое, что П есть множество всех классов подобия [а] отношения S. Имеем

(3)

так какПредположим, что Тогда

согласно (3)

(4)

Отсюда с учетом симметричности и транзитивности отношения S имеем

Аналогичным образом получаем откуда следует

Таким образом, {П[а]}[а]N есть четкое разбиение М. Далее, вследствие транзитивности и симметричности S имеем

2. Пусть П — покрытие, удовлетворяющее условиям теоремы. Определим Тогда согласно (2)

(5)

Подставляя в (5) t = x и t=y, получаем и

соответственно. Отсюдат. е. S —

симметричное отношение. В силу (5) и симметричности S получаем также

т. е. S — транзитивное отношение. По определению имеем

Поэтому S есть отношение подобия на U, что и завершает доказательство.

Заметим, что разбиения, определенные с помощью классов подобия, не являются классами. Следующий пример проясняет различие между этими случаями.

Пример 1. Пусть опять S — отношение подобия, определенное матрицей

Ищется только один класс отношения S. В то же время разбиение П, определяемое отношением S, содержит два элемента и

В классической теории множеств очень важны понятия фактор­множества и канонического отображения. Предыдущие рассуж­дения позволяют дать соответствующее обобщение этих понятий для теории нечетких множеств.

Определение 3. Пусть S — отношение подобия на множестве U с универсумом М и пусть N — множество всех классов подо­бия множества S. Нечеткое множество Н с универсумом N, опре­деленное условием

называется нечетким фактор-множеством U относительно S и обозначается H=U/S. Нечеткое отображение определенное условием

называется каноническим отображением.

Легко проверить, что F — хорошо определенное отображение. Следующая теорема устанавливает некоторые общие свойства введенных понятий.

Теорема 6.

1) F(U) =Н, т. е. Н есть образ U относительно F;

2) F-1(H) = U, т. е. U есть прообраз Н относительно F;

3) F-1 ([а]) = [а], т. е. прообраз единичного нечеткого элемен­та [а] в Н есть нечеткое подмножество [а] в М;

4) S = F-1° F, т. е. S есть ядро F.

Доказательство.

3. По определению, нечеткий единичный элемент [а] в Н — это нечеткое множество [а] с функцией принадлежности

Имеем

Для любого данного разбиения множества U можно рассмотреть нечеткое множество Н с функцией принад­лежности Тогда по теореме 5 п.3.8.2 Н есть фактор-мно­жество множества U относительно соответствующих отношений подобия S. Таким образом, представленная теория нечетких раз­биений представляет собой полный аналог четкой теории.

3.9. Кластеризация

3.9.1. Задачи кластеризации

Кластеризацией называется следующая задача. Есть некоторое количество N объектов, т. е обучающий набор векторов признаков. Построить алгоритм (кластеризатор), разбивающий пространство признаков X на конечное число q областей, называемых кластерами, так, чтобы векторы из одного кластера были больше похожи друг на друга, чем векторы из разных кластеров. Конечно, понятие похожести нужно как-то определить, например, для метрического про­странства признаков, через расстояние в нем. Таким образом, кластеризатор можно считать, как и классификатор, отображением точнее, в отличие от классификатора, классом таких отображений, переводимых друг в друга перестановками множества {1,. . ., q }.

Довольно часто кластеризация применяется при определении понятия классов для последующей классификации. Например, классификация в ботанике и зоологии начиналась с того, что имелось огромное количество описаний живых существ с разным количеством, цветом и формой листьев, лепестков, ног и хвостов, и нужно было разбить их на кучки похожих и предъявить алгоритм отнесения каждого нового существа к какой-то из кучек.

Кластеризация похожа на классификацию, в которой в обучающем набо­ре отсутствуют решения — номера классов. Чисто теоретически, можно назна­чить эти решения всевозможными способами (очень многими: Nq), обучить Nq классификаторов, выбрать один из самых лучших (которых не менее q!) и ис­пользовать в качестве кластеризатора. На практике, конечно, обучить столько классификаторов невозможно, но идея использовать в качестве кластеризатора подходящий классификатор вполне применима.