Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 10 )

ным  значениям компонент  тензора скоростей деформаций:

  ,

благодаря чему, касательные  напряжения  получились симмет - ричными в силу  симметричности  матрицы . Стокс пренебрег  равноправным членом ряда Тейлора (в этом состоит главная ошибка этой гипотезы): .

  Свою гипотезу  Стокс (другое название – обобщенный закон Ньютона [1]), оформил для течений  вязких жидкостей и газов  в  тензорном  виде 

    (1.6.1) 

  В индексных  обозначениях  компоненты данного тензора на - пряжений  записываются короче 

  ,  (1.6.2) 

и симметричность  тензора напряжений в виде

  ,  (1.6.3) 

  Обращает внимание то обстоятельство,  что в нормальные  на - пряжения диагональные  элементы  тензора входят с удвоен - ным значением, что связано с подгонкой касательных напряже - ний  (1.6.2) под закон трения Ньютона . Напри -

мер, закон трения Ньютона при  дает фор - мулу ,  а  по  гипотезе  Стокса  (1.6.2) получается

. Очевидное несовпадение связано со вклю - чением парадоксального лишнего члена . (Кстати, на необоснованность гипотезы Стокса указывал  .) 

  Возникает вопрос об адекватности члена в нормаль - ном  напряжении  в том  смысле,  что  выбор  коэффициента  «2»  обоснован  только  гипотезой  Стокса  (1.6.1),  по которой  должно выполняться  искусственно  созданное  равенство

    (1.6.4) 

  В предыдущем параграфе  1.5  для  ряда  Тейлора

 

было  приведено  бесчисленное  множество эквивалентных фор - мулировок, содержащих ротор скорости:

    (1.6.5)

  Если  следовать  логике  гипотезы  Стокса,  то  напряжения,  выбранные  из  соображений  их  пропорциональности  компо - нентам тензора  , будут  определяться в  виде

 

 

   

  Для  касательные  напряжения  несимметричны, сим - метричность  имеет  место только  при  b=2,  когда Оче-

видно  также, что при  b=1  матрица  (1.6.6)  переходит  в матрицу  перемещения  .

  Имеется бесконечное число вязких течений (здесь приво - дятся лишь некоторые из них), в которых симметричность  на - пряжений  Стокса  (1.6.3) противоречит фундаментальному закону трения Ньютона ,  где    попереч - ное  к    направление, - проекция  скорости  на  направление  орта , - касательное напряжение.

20. Парадокс гипотезы Стокса в течениях  Пуазейля и Куэтта

  В ламинарном течении  между параллельными, непроницае-

мыми и недеформируемыми стенками канала (течение Пуазейля)  скорости определяются решением уравнения

  ,

в  виде зависимости

  ,, 

(здесь  ).

  В данном течении продольное касательное напряжение в на - правлении  х  по формуле (1.6.2)  равно

 

  В силу того, что нет течения по поперечному направлению , а  значит  производная  равна нулю , по зако - ну трения Ньютона  поперечное касательное напряжение в  на - правлении тоже будет равно нулю: , что вполне объяснимо отсутствием поперечного течения в нап - равлении y, т. к. по всему каналу. По гипотезе  Стокса о симметричности касательных напряжений  , получается парадокс, заключающийся  в  том,  что  поперечное  касательное напряжение не равно нулю, ибо

,

что вступает в противоречие с законом трения Ньютона, по ко - торому, как было выше доказано, поперечное касательное на-пряжение равно нулю Таким образом, в течении Пуазейля поперечные и продольные касательные напряжения не равны между собой, т. е. их симметричность относительно левой главной диагонали тензора напряжений в виде (1.6.2) не имеет места.

  Указанное противоречие совершенно аналогично излагаемо - му ниже парадоксу с касательными напряжениями по Стоксу (1.6.2) в течении Хагена-Пуазейля в трубе.  Для течения Куэтта  несимметричность касательных напряжений устанавливается  аналогично. 

30. Парадокс гипотезы Стокса в  произвольных  течениях

  Для  бесконечного  числа  течений  симметричные касательные напряжения  Стокса  (1.6.2)  имеют нулевые значения, т. е. во всех точках потока равны нулю 

 

  Ограничимся приведением небольшого перечня течений с компонентами скоростей, в которых  этот  факт  имеет  место:

1) u=F(sincos), v=F(-cossin),  2)  u= U(sincos-cossin)  ,  v= U(sincos-cossin),  3) u=W(-cossin),v=W(sincos),  4) u=Q(sinsin),v=Q(coscos),