Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 55 )

10.7. В «законе Дарси» только в одномерном стационарном  течении  выполняются все три закона физики

  Рассмотрим уравнения  «закона Дарси»

,

для  исследования одномерной  фильтрации u=0,v=0, w, под действием силы тяжести. В данном случае  уравнение динамики в проекции на ось z принимает вид

,

а уравнение неразрывности превращается в равенство

,

откуда следует постоянство скорости , и для дав - ления получается линейная зависимость

  По всей видимости инженер Дарси не применял закон сохра-нения массы в вышеуказанном виде . Более преположи-тельным и физически содержательным являются следующие подходы к проблеме одномерной стационарной фильтрации.

  Рассмотрим одномерное  стационарное течение  идеальной

жидкости с компонентами скорости u=0,v=0,w, происходя-

щее параллельно направлению силы тяжести :

    (10.7.1)

Данное уравнение есть проекция на ось  “z” уравнения Эйлера

 

  Умножая обе части этого уравнения на элементарный объем

,  приходим ко второму закону Ньютона

  ,  где - главная сила, - масса.

  Далее, учитывая фильтрацию в грунте,  в законе сохранения  массы  введем  мощность источника или стока в виде

    (10.7.2) 

  Это уравнение в случае  одномерного течения u=0,v=0, w, приводится к виду

    (10.7.3) 

  Проекция ускорения  для стационар - ного течения по направлению z  будет равно  . 

  Подставляя  (10.7.3)  в  (10.7.1)

    (10.7.4) 

получаем  формулу  (3) . В консервативном  поле  силы  тяжести

потенциальная  энергия  равна , в силу чего за - сохранения энергии (10.6.11) (интеграл Лагранжа-Коши) для одномерного течения принимает вид:

  ,  (10.7.5) 

продифференцировав которое по z получаем уравнение динамики (10.7.1).

  С другой стороны  уравнение  (10.7.1) приводится к эквива - лентному виду

,

из  которого безусловно вытекает закон сохранения механи - ческой энергии (10.7.5) в единице объема среды.

  Ясно следующее простое обстоятельство, что по формуле (1) инженера  Дарси  решается первая задача динамики: зная ско - рость жидкости и давление на заданном уровне, можно вычислить силу, действующую на поверхность на расстоянии от выбранного уровня. 

  Продемонстрируем это утверждение на одномерном течении. Из (10.7.4) легко получается

 

откуда вычисляется давление на уровне  z: 

  ,

где в правой части стоят измеренные величины. Предварительно

для расчета коэффициента  k  применяется формула  (10.7.3). 

  Проинтегрировав (10.7.3) по высоте фильтрации легко установить 

  ,

откуда  вычисляется  коэффициент  ,

где, очевидно,  уровни определяются в эксперименталь-

ном  образце  грунта  таковыми, что  на этих уровнях известны

скорости .

10. Краевая задача с условиями Дирихле

  Подстановка одномерной форулы Дарси (10.7.4) в уравнение

неразрывности (10.7.3) дает уравнение 2-го порядка для давления

  Интеграл полученного уравнения содержит 2 константы

    (10.7.6) 

которые однозначно определяются, если известны значения давления на двух уровнях (условия Дирихле)  :

  Таким образом, давление вычисляется по формуле

  Скорость вертикальной фильтрации по формуле (10.7.4) будет равна

 

20. Задача Коши с двумя начальными условиями

  Фильтрация происходит в непрозрачном не доступном для из - мерительного прибора грунте, на некоторой поверхности которой измерены значения давления и вертикальной скорости: 

    (10.7.7)

  Заметим, что первое условие в (10.7.7) является начальным условием для уравнения (10.7.4), где стоит первая производная от давления, второе условие в (10.7.7) является начальным условием для уравнения неразрывности (10.7.3), где стоит пер - вая производная от скорости.

  Для определения двух констант в общем интеграле (10.7.6) второе условие  (10.7.7) в силу уравнения динамики (10.7.4) трансформируется к виду 

откуда определяется первая константа .

  Вторая константа определяется первым условием (10.7.7)

  Точное решение задачи Коши имеет вид

  Таким образом, создатели так называемого «псевдозакона Дарси» для пространственной филтрации, пренебрегли законами Ньютона, сохранения массы и энергии, что в результате привело к вышеприведенным парадоксам. 

Скорость вертикальной фильтрации по формуле (10.7.4) будет равна

10.8. Коррекция модели Форцгеймера фильтрации в насыщенных пористых средах. Разностная схема

  В отличие от «закона Дарси» более подходящим, с точки зре-  ния выполнения законов физики, для описания фильтрации в на - сыщенных пористых средах является модель Форцгеймера  [5]: 

, (10.8.1)

    (10.8.2)

  В данных уравнениях учтено локальное ускорение, уравне - ние (10.8.1) имеет  вид  основного  уравнения  динамики, в отли - чие от псевдозакона «Дарси» частично выполняется 2-й закон Ньютона, но нет переноса частиц среды . В (10.8.1-37) -коэффициент пористости среды, К – коэффициент проницае - мости,  -плотность жидкости,  - безразмерный коэффици - ент трения Форцгеймера. Учтена также вязкость жидкости .