Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 17 )

  В раскрытом виде левая часть (1.10.5) по уравнению динамики  сплошной среды в напряжениях равна выражению: поэтому в силу (1.10.6)  имеет место неравенство

  , 

из которого вытекает доказательство несимметричности тензора напряжений сплошной среды

что и требовалось доказать.

  На нижнем рисунке показано, что при симметричности тензора напряжений, например , суммарный момент равен нулю и частица не будет вращаться, следовательно, проекция вихря скорости равна нулю:

  Таким образом, при симметричном тензоре напряжений , что дано в гипотезе Стокса:

,

суммарный момент всегда равен нулю и во всех точках потока частицы не должны вращаться: . А это означает по определению, что течение вязкой жидкости по гипотезе Стокса является потенциальным, что противоречит в плоских течениях решению уравнений Гельмгольца:

  Следовательно,  выражение (1.10.1), которое применяется  в учебниках  Лойцянского [1]  и  Седова [2]  в качестве теоремы об изменении момента импульса, ошибочно. Очевидно  из  (1.10.5), что  в формуле (1.10.1) Лойцянского [1]  и  Седова [2] не может стоять знак равенства. На самом деле в силу (1.10.5) 

имеет место быть неравенство: 

  Общеизвестно, что  теоретический вывод о симметричности тензора напряжений устанавливается  исходя из равенства (1.10.1). Так  как  (1.10.1)  не имеет места в силу (1.10.5) ,  то и нет в общем случае симметричности тензора напряжений в сплошной среде, что требовалось  доказать.

  Примечание. В состоянии равновесия скорости  всех  частиц жидкости  равны  нулю  , ,  уравнение

равновесия  сплошной среды

  ,  (1.10.7) 

является равенством нулю главной силы (см.1.8), кроме того, выражение (1.10.6)  будет равно нулю

(1.10.8) 

  По фундаментальному определению момента количеств движения (1.10.2) будет равно нулю в правой части (1.10.5) и выражение

  (1.10.9) 

  В силу равенств (1.10.8) и (1.10.9)  в состоянии равновесия будет иметь место равенство нулю главного момента сил

    (1.10.10) 

Из (1.10.7) вытекает равенство нулю момента главной силы:

    (1.10.11) 

По теореме 4  1.8 в общем случае они не равны между собой по определению: . Их равенство имеет место при условиях теоремы 7 и справедливо Утверждение 1. 

1.11. Парадоксы Бэтчелора

  Очевидно, что Дж. Бэтчелору  было известно устоявшееся более века в механике сплошной среды утверждение о симметричности тензора напряжений. Данный ложный факт Бэтчелор решил обосновать следующим образом. Цитируем из [5]: «…можно показать, что не все девять компонент тензора напряжений независимы. На этот раз рассмотрим моменты различных сил, действующих на жидкость в объеме произвольной формы; я компонента полного момента относительно точки    внутри этого объема, возникающего за счет действия поверхностных сил на границе объема, равна

где радиус-вектор элемента относительно точки . Этот интеграл

по замкнутой поверхности можно преобразовать по теореме Остроградско-

го-Гаусса в интеграл по объему

Если теперь объем устремить к нулю таким образом, чтобы конфигурация, создаваемая границей объема и неподвижной точкой в нем, сохраняла ту же самую форму, то первый член в правой части равенства (1.3.6) будет стремиться к нулю как объем , а второй член будет стремиться к нулю быс - трее, а именно как . Полный момент массовых сил относительно точки  , приложенный к элементу жидкости, составляет, очевидно, величину по - рядка , когда мало, поэтому в объеме одновременно имеет место также скорость изменения момента количества движения жидкости. Следова - тельно, интеграл очевидно, представляет собой величину более высокого порядка по сравнению с другими членами уравнения момента для объема , и вследствие этого он должен тождественно обращаться в нуль. Это возможно при любом выборе положения точки  и формы объема  ,

когда величина представляет непрерывную функцию х, если только

    (1.3.7)

всюду внутри жидкости;… Из  (1.3.7) следует, что тензор напряжений симмет-

ричен, т. е. и имеет только шесть независимых компонент….»

  В (1.3.6) утверждение «…Полный момент массовых сил относительно точки  , приложенный к элементу жидкости, составляет, очевидно, величину порядка , когда мало, поэтому в объеме одновременно имеет место также скорость изменения момента количества движения жидкости…» подразумевает использование в правой части (1.3.6) уравнений динамики сплошной среды в напряжениях

,

в результате (1.3.6) принимает дедуктивный вид

  Данные здесь  оценки  отдельных членов  «…порядка …»

легко устанавливаются, если объем    есть  сфера  радиуса