Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 54 )

  Основной закон динамики гласит, что всякая

сила  вызывает изменение импульса , поэтому форму-

лируется  как закон об изменении импульса.

  Продифференцировав,  можно представить закон в виде

 

  Всякое движение материальной среды в ньютоновской меха - нике подчиняется этому закону, следовательно,  и  движение в пористой среде, оформленное  в виде “закона Дарси” 

  ,

должно  подчиняться этому закону. Простое сопоставление этих двух законов, один из которых псевдо “закон Дарси”  приводит к следующему факту

  =, = , =0

  Из последнего равенства вытекает, что в псевдо“законе

Дарси”  ускорение  равно нулю  .

  Но тогда по первому закону Ньютона частицы должны совершать прямолинейное движение с постоянными скоростями либо покоиться, что возможно только в одномерном  течении по направлению  оси  “z”.

  В гидродинамике наглядной иллюстрацией таких прямолинейных стационарных течений, в которых ускорение равно нулю, являются течение Куэтта, каналовое течение Пуазейля между параллельными плоскостями c зазором h:

,

течение Хагена-Пуазейля в трубе радиуса и др. [3]:

  Вполне возможно, что  во времена Дарси были известны данные формулы и положив,  соответственно,

инженер Дарси  применил  эти формулы для расчета дренажа.

  Далее, как известно  [3],  потенциал скорости Ф вычисляется с точностью до произвольной функции времени как решение уравнения Лапласа

при краевом условии Неймана  ,

то есть, должны быть заданы на границе компоненты скорости для определения . После нахождения Ф  в потенциальных течениях давление определяется из уравнения Лэмба-Громеки, в котором :

  Очевидно, в потенциальных течениях ускорение не равно 0:  !

  В законе Дарси уравнение  (10.4.3) для давления

по типу совпадает с уравнением для потенциала

следовательно, граничное условие Неймана должно быть аналогичным 

  В силу этого применение «закона Дарси» (10.1.4), (10.1.5-8)  для расчета двумерных и трехмерных течений теряет физический смысл из-за противоречия с первым законом Ньютона, как только в течении возникают  криволинейные линии  тока. Прямолинейности  линий тока может и не быть из-за указанных выше парадоксов с граничными условиями.

  Приравнивание к нулю ускорения оправдывается следующими соображениями. Первое: в стацио - нарном течении, разумеется, частная производная по времени равна нулю, но для нестационарного течения локальное ускорение не равно нулю , и предпринятая в моногра - фии [1] попытка приравнивания его к нулю не выдерживает строгой критики.  Второе: что пространственные члены перено - са ничтожно малы. Стационарность фильтра - ции, наверное, не  всегда имеет место из-за действия внешних условий, а произведения в могут быть вовсе не малыми. Покажем это на  аналоге только одного произведе - ния из этого выражения переноса, например, на . 

  Пусть  где очень большое но конечное число, - параметр, обеспечивающий малость фун - кции  w, F - ограниченная вместе с производной дифференциру - емая функция своего аргумента, тогда производная будет равна . Поэтому произведение  есть  конечное  число, достаточно положить . Аналогичных  примеров  можно  привести  достаточное количество, например, функции со слабыми разрывами, чтобы убедиться в том, что  приравнивание к нулю ускорения 

 

неправомерно.

  Неправомерно, в первую очередь, из-за противоречия с ос-  новным законом динамики – именно, со вторым законом Ньютона, который гласит:  действие силы вызывает  ускорение,  не равное нулю:

(Парадоксально – неужели бьющие недр земли фонтаны нефти и воды имеют ничтожно малые ускорения?) 

  Как было отмечено в (10.4.3),  распространенным методом ре - шения уравнений (10.1.4) , (10.1.5) «закона Дарси»  является све - дение системы к одному уравнению эллиптического типа

 

при указанных выше краевых условиях. 

  Надо признать, что важнейшим критерием верности полу - ченного решения уравнения (10.4.3) является то, что для вектора скорости , определенного  по формуле (10.1.4)  «закона Дарси», должно выполняться  не только условие (10.3.3), но в первую очередь равенство нулю ускорения 

,

т. е. давление в стационарной фильтрации должно удовлетворять  уравнению, вытекающему из этого равенства:

во всех точках исследуемой области, что не является автомати-

ческим следствием решения уравнений (10.1.4) , (10.1.5-8), как это имеет место в течениях Куэтта, Пуазейля между параллельными плоскостями,  Хагена-Пуазейля в трубе, где  ускорения  тождественно равны нулю  [3].

  Получается  четвертый парадокс: давление в «закона Дарси» (10.1.4), (10.1.5) определяется  через решение уравнения (10.4.3-14) (14), с другой стороны,  согласно первому и второму законам  Ньютона,  давление должно быть еще решением системы из трех уравнений:

  Итого, для одной функции давления  p  возникает 4 уравнения, что еще раз показывает абсурдность применения «закона Дарси» (10.1.4) , (10.1.5) в теории многомерной фильтрации. 

  В силу вышеуказанных причин применение так называ - емого «закона Дарси» в виде системы уравнений (10.1.4) , (10.1.5) в  теории  фильтрации  ошибочно.