Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 59 )

выпадает второе слагаемое и, исходя из выражения 

  du = С dx,  (11.3.8)

закон Гука по логике должен быть определен в виде  (11.3.9)

  В формулах (11.3.4) Навье-Коши-Ламе тензор напряжений симметричен, в формулах (11.3.7) имеет место бесконечное чис - ло несимметричных тензоров напряжений при . Формула (11.3.7)  есть ряд Тейлора при любых значениях , в том чис - ле и для . Закон Гука (11.3.9) сформулирован для представления (11.3.8), получающегося из (11.3.7) при  rotu=0,  и для  принимает вид

  i, j=1,2,3, (11.3.10) 

а так как при  имеет место быть С=К, тогда закон Гука (11.3.10) соответствует полному  ряду Тейлора  du=Кdx! 

  Главный парадокс гипотезы Навье-Коши-Ламе  состоит в следующем. Согласно этой гипотезе имеют место эквивалент - ные равенства (11.3.3) или (11.3.5), откуда вытекают  равенства нулю компонент ротора

  или  ,i, j=1,2,3  (11.3.11) 

  Напряжения (11.3.4), построенные по гипотезе Навье-Коши-Ламе,  можно представить в форме:

 

которые  в силу равенств  (11.3.11)  переходят  к  формулам (11.3.10):

  i, j=1,2,3  (11.3.12)

и являются симметричными в силу вторых равенств (11.3.11). 

  Снова получается закон Гука в форме (11.3.10)! 

  Главный парадокс заключается еще и в том, что решения уравнений  Навье-Коши-Ламе

    (11.3.13)

должно удовлетворять равенствам (11.3.11). Исследуем дан - ный  вопрос. С этой целью  применим  операцию rot  к уравне - нию (11.3.13):

  ,  (11.3.14) 

т. к. .

  Теорема 1. В нестационарных задачах теории упругости , следовательно, гипотеза Навье-Коши-Ламе (11.3.4) неверна, тензор напряжений не может быть симметричным.

  Очевидно, для уравнение (11.3.4) имеет ненулевое решение , поэтому гипотеза Навье-Коши-Ламе неверна, а это значит, что тензор напряжений надо определять по форму - ле (11.3.10) с несимметричным тензором напряжений. Пусть  , уравнение (11.3.14) примет вид

    (11.3.15) 

  Данное волновое уравнение имеет общее ненулевое решение

  (11.3.16) 

следовательно, гипотеза  Навье-Коши-Ламе снова неверна!

  Рассмотрим уравнение упругого равновесия, полученное по гипотезе Навье-Коши-Ламе:

    (11.3.17)

  Операция ротор (11.3.17) дает уравнение эллиптического типа относительно :

  =0  (11.3.18)

  Теорема 2. Если , то уравнение (11.3.18) имеет ненулевое решение , следовательно, в задачах  упругого равновесия гипотеза Навье-Коши-Ламе неверна, тензор напряжений не может быть симметричным.

  Доказательство очевидное.

  Пусть теперь массовые силы таковы, что . Тогда уравнение (11.3.18) перейдет в однородное эллиптическое уравнение

  ,

которое имеет нулевое решение

  =0  (11.3.19) 

  Теорема 3. В задачах  упругого равновесия гипотеза Навье - Коши-Ламе верна, если , т. е. =0,  следователь - но, тензор напряжений может быть симметричным. Вектор перемещения имеет потенциал.

  Доказательство уже дано в виде (11.3.19). Потенциал вводит -

ся формулой 

  ,  (11.3.20)

ибо  . И в этом случае  тензор напряжений

определяется в виде (11.3.10), симметрия имеет место из-за (11.3.19), что приводит к равенствам (11.3.11).

  Итак, согласно  теоремам  1, 2, 3 тензор напряжений  должен иметь вид (11.3.10):

i, j=1,2,3.

  По гипотезе Навье-Коши-Ламе силы, действующие на тело, создают  только линейную деформацию Еdx, в результате получается, как сказано,  искаженное  выражение

,  du=Еdx,

ничего общего не имеющего с рядом Тейлора (11.3.1) du=Кdx.

  Отказ от гипотезы Навье-Коши-Ламе означает, что если исхо - дить из формулы ряда Тейлора

  du=Еdx+ [rotu, dx] , 

то необходимо учитывать также силы напряжений, вызы - вающие и эйлеров  линейный  поворот. С этой целью обоз - начим  через - напряжения, пропорциональные  эйлеровым  линейным  деформациям, через - напряжения, пропор-циональные  эйлеровым  линейным  поворотам:

  ,    (11.3.21)

  По закону Гука суммарная сила будет равна

  После подстановки и  получается 

  , i, j=1,2,3,  (11.3.22)

где  , коэффициенты Ламе.

  Тензор напряжений в (11.3.22) несимметричен , ибо здесь не предполагается заранее равенство нулю (11.3.11) компонент вектора rotu. Итак, тензор напряжений (11.3.22) сно - ва совпадает с тензорами (11.3.12) и (11.3.10).

  Несимметричность тензора напряжений в динамике сплош-ной среды  доказано автором в главе 1. Данное там строгое доказательство легко переносится и на деформируемые тела в теории упругости. В монографии [3] и др. симметричность тензора напряжений в теории упругости устанавливается  для состояния упругого равновесия

    (11.3.22а) 

  Аналогично Седову и Лойцянскому составляется уравнение момента сил в неправильной форме

  , 

из которого в силу  получается соотношение

  ,  (11.3.23) на основании чего Лурье и др. авторы делают вывод о симметричности тензора напряжений в упругой среде. Критика такого дедуктивного метода дана в главе 1. Там же дано обоснование правильной формулы момента сил в виде