Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 9 )

где  использовано  известное  выражение  ротора скорости.

  Очевидно, ни при каких значениях   выражения (1.5.5)  не  совпадают с решениями (1.5.3) системы  (1.5.2). Если даже взять в  качестве  значения  свободной переменной 

 

подставляя  его в  найденные решения (1.5.3) системы  (1.5.2) 

убеждаемся в том, что формулы Гельмгольца (1.5.6) не являют - ся решениями системы (1.5.2), ч. т.д. Парадоксальный факт, ис - пользуя неправильное решение (1.5.6) Гельмгольц (или Лойцян - ский в [1]) вместо формулы (1.5.1) обращаются к  выражению 

  ,  (1.5.7) 

которое  ничего  общего  с формулой  скорости  твердого  тела  (1.5.1) не имеет, потому что (1.5.6)  не является  решением системы (1.5.2). 

  В силу того, что формулы  Гельмгольца (1.5.6)  не являются решениями системы  (1.5.2) данное  выражение вовсе не эквивалентно  формуле  (1.5.1)  скорости точки твердого тела!  (Эта  формула вообще ошибочна, она не годится для расчета скорости точек твердого тела.)  Тем ни менее, данное выражение стало  в дальнейшем  прообразом  первой  теоремы

Гельмгольца,  на  которой  остановимся  более подробно.

  Первая  теорема  Гельмгольца  выводится  из  приближенной  формулы, представляющей  члены  с первыми  производными  ряда Тейлора  в виде 

    (1.5.8) 

Гельмгольц  по аналогии с неправильным  выражением  (1.5.7) преобразовал  (1.5.8) к  эквивалентному  виду  (см. [1] ):

  ,  (1.5.9) 

ввoдя  тензор скоростей деформаций . Формула (1.5.9) являет - ся содержанием первой теоремы Гельмгольца.  Сравнивая (1.5.9) с ошибочным  выражением  (1.5.7),  Гельмгольц  объявляет  деформационным смещением. Если иметь в виду, что вы - ражение в отдельности вообще не имеет никакого физического смысла, в отличие от скорости точ - ки твердого тела ,  то  сформули - рованное  понятие  деформационного смещения  является  весь - ма сомнительным с физической точки зрения.

  Более  содержательным  является  перемещение    в 

(1.5.8)  и в силу  результатов  (1.2.7), (1.2.9), (1.2.10)  1.2  это  произведение  можно  объявить деформационным смещением.

  Теорема 3. Ряд Тейлора (1.5.8) имеет бесконечное число форм,  содержащих , следовательно, имеет место бесконечное число «деформационных смещений» ,  первая теорема Гельмгольца получается из них как частный случай.

  Для доказательства  запишем ряд Тейлора (1.5.8) в проекци - ях на оси координат:

(1.5.10) 

 

  Эквивалентное преобразование ряда Тейлора  (1.5.10) имеет  вид:

(1.5.11) 

  По аналогии с представлением Гельмгольца  (1.5.9)  ряд  Тейлора  (1.5.11) можно записать  в векторном виде: 

  ,  (1.5.12)

используя очевидное матрично-векторное представление 

,(1.5.13) 

b=const,   .  При  b=2  из  (1.5.12)  получается  первая теорема  Гельмгольца  (1.5.9), ибо  ,  т. е. тензор равен тензору скоростей  деформаций,  при  b=1  универсальная формула  (1.5.12)  переходит  в  ряд Тейлора  в исходной  записи  (1.5.8), т. к. , т. е. равен матрице перемещения.  Всюду выше  ротор скорости  имеет  компоненты

(1.5.14)

  Поэтому  разложению  в  ряд  Тейлора  (1.5.10)  можно  придать  другой  эквивалентный  вид: 

  (1.5.15)

  По аналогии  с  (1.5.12)  проекции (1.5.15) свертываются  в выражение 

  ,  (1.5.16)

где несимметричная матрица перемещения  из  1.1,  в    строки умножаются  на  столбцы. Гельмгольц  вихрем  скорости  назвал формулу

  ,  (1.5.17)

исходя из ложного представления  (1.5.7), о чем шла речь  выше.

  Как известно, ротор скорости в гидродинамике  связан, в первую очередь, с циркуляцией скорости [1], [4]:

  ,  (1.5.18) 

и компоненты в указанном в (1.5.14) виде получаются именно  из  этого  определения  (1.5.18)  , поэтому  для вихря  скорости  должна  использоваться  формула  .  Если исходить из определения Гельмгольца, то деформационными смещениями являются ,  входящие в универсальную формулу (1.5.12).

1.6. Парадоксы  гипотезы  Стокса

10. Гипотеза Стокса  основана  на ложной  формуле  Гельмгольца

  В 1.5 приведена эта ошибочная формула Гельмгольца, на основании которой разложение в ряд Тейлора сформулировано  в виде  первой  теоремы  Гельмгольца [1]: 

  Далее,  Стокс, приняв  в  этом ряду Тейлора  слагаемое   за  деформационное  смещение, происходящее  под действием  поверхностных  сил,  гипотетически  предположил, что  каса - тельные напряжения должны быть пропорциональными удвоен-