Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 28 )

верждает справедливость формулы :

  Новые уравнения гл. 1 с тензором напряжений Ньютона

получаются из уравнений (3.10.1) и (3.10.2) при показателях степеней и коэффициенте вязкости . 

  Равенство вытекает из формулы

при показателе степени, равном единице : так как .

  Уравнения моделей турбулентных течений, соответствую - щие различным законам трения, получаются из (3.10.1) и (3.10.2) при показателях степени .

  Фигурирующая в известной модели Буссинеска «турбулент - ная вязкость» становится равной  

  Примечание. Удовлетворительное совпадение на рис.5 получено для показателей Ясно, что при моделировании других

турбулентных течений могут оказаться эффективными иные показате - ли степеней в законах трения  Джакупова.

  Очевидно, определение форм связи между коэффициентом ламинар - ной вязкости и коэффициентами , выбор комплексов тре - бует дополнительных исследований.

3.11. Математические модели турбулентных течений, адекватные законам трения в каждой точке потока

  Системы уравнений (3.10.1), (3.10.2) 3.10 при нечетных показателях степени выше 3-х являются математическими моделями высокоскоростных течений и для показателей степени  дают удовлетворительное совпадение с экспериментом. Однако принято считать, что переход течения в турбулентный режим связан с влиянием внешних малых возмущений, приводящих к пульсациям гидродинамических величин. Исторически это связано с уравнениями Рейнольдса.

1o. Уравнения Рейнольдса не являются математическими моделями турбулентных течений

  Уравнения пульсаций 3.8, выведенные по законам трения для

больших скоростей

   

являются весьма громоздкими и соответствуют методу Рейноль - дса, по которому скорость, давление и другие параметры представляются в виде сумм , где пульсационные составляющие.

  Подстановка в уравнения Навье несжимаемой  жидкости

  (3.11.1)

приводит к системе

    (3.11.2)

 

  Осреднением Рейнольдса по времени из (3.11.2) получаются уравнения для , в предположении существования такого периода времени to, при котором осредненные значения пульсаций равно нулю во всех точках потока

  В результате получается известная незамкнутая система уравнений для осредненных функций

  Как отмечено выше, в уравнениях динамики системы (3.11.3) напряжения соответствуют низкоскоростным течениям, по этой причине они не являются моделями высокоскоростных (как правило, турбулентных) течений. 

  Экспериментальные значения периода осреднения to в публи - кациях не приводятся. Можно предположить, что только при очень больших значениях периода to >>1 осредненные пульса - ции  во всех точках турбулентно - го потока будут близкими к нулю в той или степени.

  При конечных значениях  to, очевидно, будет функцией координат  x, y,z.  Из  уравнений  (3.11.2)  и  (3.11.3)  выводится

тоже в свою очередь незамкнутая система уравнений пульсаций

  (3.11.4)

  , 

в которой  напряжения  также  соответствуют низкоскоростным

течениям.

  Простой метод замыкания  систем (3.11.3) и (3.11.4) с приме-

нением формулы прямоугольника для приближенного вычисле-

ния интеграла осреднения рассмотрен  выше для малых значений периода осреднения to. 

  Абсурдность осреднения всей системы уравнений динамики вязкой жидкости и искусственное образование незамкнутых систем уравнений, соответствующих закону трения для малых скоростей (закону трения Ньютона),  отсутствие четких критериев определения периода осреднения to требуют пересмотра подхода Рейнольдса к математическому моделиро - ванию турбулентных течений.

2o. Моделирование пульсаций в турбулентных течениях

  Пульсации гидродинамических функций считаются сравни-тельно малыми по величине  и  определяют  степень турбулизо-

ванности потока, следовательно, при определении создаваемых ими напряжений необходимо применять закон трения для ма - лых скоростей (m=1) , что было отражено в системе уравнений с осреднением по Рейнольдсу.

  Предлагается  следующий  подход к  моделированию  турбулентных  течений.  Актуальное  значение  скорости 

представляется в виде суммы  двух скоростей ,  где объявляется не осредненной по времени, а глобальной скоростью, для нее ставятся соответствующие физике процесса естественные начальные и краевые условия, соответствует «пульсационной  скорости», начальные и краевые условия для которой учитывают стохастичность и степень возмущенности основного потока.

  Для любой дифференцируемой гидродинамической функции полный дифференциал равен 

,

откуда вытекает субстанциональная производная

  В этой формуле скорости переноса равны

,

следовательно, имеет место

 

   

  Реализация  второго закона Ньютона  для  глобального  течения приводят к уравнениям в напряжениях

  Глобальному течению в турбулентном режиме соответствуют

большие скорости, следовательно,  напряжения должны определяться  по реологическим законам  3.9:

   

  Аналогичная реализация второго закона Ньютона для пульсационного течения приводят к уравнениям в напряжениях