Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 31 )

  Технология получения  уравнения, определяющего давление, известна давно и заключается  аналитически в  следующем.

  Дифференцируя уравнение неразрывности по  времени  t,  получают необходимое выражение

  =0  (4.2.3)

  В результате подстановки  в (4.2.3)  производной по времени

 

устанавливается искомое аналитическое выражение для давления, осуществляющее фундаментальную связь  между давлением и скоростью

    (4.2.4)

  Оно получено  естественным образом из закона  сохранения  массы.

  Уравнение  (4.2.4) очевидно является уравнением  эллипти-  ческого типа относительно давления, что подчеркивает тем самым  диффузионный  характер распределения давления в сплошной среде.  В декартовой  системе  в силу уравнения (4.2.2)  данное уравнение значительно упрощается  из-за равенства  нулю последнего члена в левой части  (4.2.4):

 

следовательно, имеет место  более компактное уравнение 

  ,  (4.2.5)

в котором  отсутствуют силы вязкости среды, т. е. это уравнение  одинаково справедливо  как  для  вязких  так и  идеальных жидкостей.

  Аналогичная связь имеет место и в сжимаемых средах. Из ди-

вергентных уравнений динамики 

    (4.2.6)

,

,

вычленяются  из  (4.2.6) производные по  времени

    (4.2.7)

и подставляются в продифференцированное по t уравнение закона сохранения массы

  ,  (4.2.8)

в силу чего для давления получается уже уравнение гиперболического типа

  ,  (4.2.9)

т. е. в газах распределение давления носит волновой характер.  В численных  методах  решения  начально-краевых задач  для  систем  (4.2.1), (4.2.2)  или  (4.2.6)  вычисление  давления,  как правило, производится  по разностным аналогам  уравнения (4.2.4) или  уравнения (4.2.9), полученные  из разностных аналогов  уравнений неразрывности  (см. [3]). При этом прямая  аппроксимация уравнения (4.2.4)  однородными  разностными  схемами  с  использованием в  качестве  краевых  условий  на  границе уравнений  динамики (4.2.1):

,

как показали численные эксперименты, не является эффектив - ным методом решения начально-краевых задач для системы (4.2.1), (4.2.2) (итерационные алгоритмы для вычисления дав - ления будут расходиться). Совершенно аналогичная обстановка имеет место и для уравнений газодинамики (4.2.6). Поэтому,  при численном решении систем уравнений (4.2.1), (4.2.2) или (4.2.6) используется несколько иная вычислительная технология реализаций  фундаментальных связей (4.2.4) или (4.2.9) . При этом существенно то, что в зависимости от расположения узлов сеточной области разностные аналоги связей (4.2.4) или (4.2.9) получаются в виде замкнутой  системы  неоднородных разност - ных уравнений для давления, которые легко реализуются  соот - ветствующим  итерационным алгоритмом [3].

4.3. Ошибочность  уравнений  Прандтля  состоит в  неполном выполнении второго закона Ньютона и из-за  отсутствия  действия закона  сохранения массы на  течение  через  давление

  Точными уравнениями, описывающими вязкие течения, в том числе и в пограничном слое, несомненно, являются уравнения Навье  (4.2.1), (4.2.2)  для  несжимаемой  жидкости и уравнения (4.2.6) для газа. 

  Людвиг фон  Прандтль  предположил, что в пограничном слое около недеформируемой поверхности  имеют место оценки , , , основываясь на которых он отбросил в уравнениях (4.2.1) для плоских течений  вязкой жидкости 

  ,  (4.3.1)

  ,  (4.3.2) 

  ,  (4.3.3)

относительно «малые»  по величине члены  и  ввел упрощенную систему  [2]:

  ,  (4.3.4)

  ,  (4.3.5)

    (4.3.6) 

  Главная ошибка системы уравнений Прандтля (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6) согласно 4.1, состоит в том, что не используется  проекция второго закона Ньютона на ось y, о чем  свидетельствует равенство нулю в (4.3.5), т. е. второй закон  Ньютона не выполняется полностью, сохранена только проекция  (4.3.4)  второго закона Ньютона на ось  .

  Очевидно, для уравнений (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6) аналогом фундаментальной связи (4.2.4) будет уравнение для давления в следующем виде

    (4.3.7)

  Согласно вышеизложенной концепции решения начально-краевых задач для уравнений (4.2.1),(4.2.2) или (4.2.6),  при реалиизации рассматривается  система  (4.3.4), (4.3.5), (4.3.7). Из (4.3.5) вытекает зависимость давления  только от x и t: p=p(x, t). Имея это в виду, систему  (4.3.4), (4.3.5), (4.3.7)  можно записать в  виде двух уравнений

  ,  (4.3.8)

    (4.3.9)

  Таким образом, для трёх искомых функций u, v,p  получаются  только  два уравнения  (4.3.8),  (4.3.9) . Очевидно,  не  хватает  еще одного уравнения для вычисления  поперечной  составляющей скорости  v.

  Уравнение неразрывности  (4.3.6)  не может быть использовано для определения  v, т. к. оно вытекает из уравнения (4.3.9) ,  причем в начальный момент времени  t=0 должно иметь место  равенство  .

  Согласно 4.1  поперечная  компонента  скорости  v  должна вычисляться из  проекции второго закона Ньютона на ось  y  (4.3.2). Но в этом уравнении Прандтль отбросил все члены, связанные с компонентой  скорости  v

=0,

и оставил  равенство  нулю  (4.3.5), о чем было сказано выше. 

  Коренная ошибка Прандтля состоит в том, что по его кон-цепции в виде уравнений (4.3.4), ( 4.3.5) основной закон динамики, в данном случае второй закон Ньютона,  действует в течении в пограничном слое только в продольном направлении по оси  , в поперечном направлении по оси   не действует, следовательно,  по направлению оси не должно быть движения согласно основному закону динамики, а поскольку нет движения в поперечном направлении, то и нет  соответствующей компоненты скорости, поперечная составляющая скорости равна нулю: .

  Если так, то уравнения Прандтля (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6) упро - щаются до состояния

,,