Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 48 )

 

 

  Данные аппроксимации пригодны и для разрывных коэффициентов  [5].

Примечание 1. Применение изложенных выше итерационных алгоритмов на трехмерные задачи в цилиндрических, сферческих и др. системах  координат производится аналогично (см.[1]).

Примечание 2. Условие постоянства градиента давления на выходе потока в итерациях реализуется по формулам  , 

  Или равенство нулю градиента давления

Литература

1. Простые разностные схемы для уравнений гидро -

  аэротермодинамики. –Алматы: изд-во КазНУ им. Аль-Фараби, 2004г.

2. О некоторых разностных схемах для уравнений 

  Навье-Стокса // Чис. мет. мех. спл. ср., Вц СО АН  CCCР, №1,т.2, 

  1971г. С.17-26.

3. ДжакуповБ. Численный расчет ламинарного течения вязкой

  несжимаемой жидкости в кожухе с вращающимися дисками // 

  Известия СО АН СССР, сер. техн. н.вып.1, №3, 1977г., с.18-28.

4. , , Численное моделиро- 

  ование аэродинамики и горения в топочных и технологических

  устройствах.- Алма-Ата: изд-во «Наука», 1986г.

5. Введение в теорию разностных схем.-М.: Наука,

  1970г. С.552.

6. Численный расчет турбулентного обтекания

  пластины с применением уравнений для пульсаций // Известия СО 

  АН СССР, сер. техн. н.вып.1, №4, 1985г., с.61-67

   

Численное моделирование свободного падения струи воды в замкнутый объем воздуха под действием силы тяжести с ускорением

Поле скоростей обтекания трех пластин, первая из которых стоит перпендикулярно к потоку, две следующие за ней под углом . Расчеты проведены на сетке  250x150, RE=30000 с шагом по времени  без учета влияния пульсационных скоростей, эпюра соответствует моменту времени  .

Глава 9. ПАРАДОКС ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ «ОТРИЦАТЕЛЬНОЙ» ПЛОТНОСТИ ГАЗА. ЭФФЕКТИВНЫЕ  МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СЖИМАЕМОГО ГАЗА

9.1. Парадокс схемной отрицательной плотности газа порожден  неправильной реализацией закона сохранения массы

  При численном решении уравнений сжимаемого газа по разностным схемам типа явных схем Браиловской, Давыдова,  неявных схема типа [1], [2], [4], [5], [12] и др. получаются  отрицательные  значения плотности газа , что противоречит физической сущности  этой величины, измеряемой в СИ отношением килограммма на  метр в кубе (масса любого вещества положительна). Причиной тому является неправильная  реализация  разностного аналога уравнения неразрывности

  ,  (9.1.1)

в вышеуказанных работах, примененного для непосредственно-

го вычисления плотности по разностной схеме типа

    (9.1.2) 

где - линейный обратимый оператор;разностная аппроксимация . В самом деле,  из (2) вычисляется  плот-

ность  на  следующем слое времени обращением оператора  : 

    (9.1.3) 

  Очевидно, в тех точках потока, где сохраняет в процессе счета положительный знак, плотность с ростом будет уменьшаться и станет отрицательной, что абсурдно, так

как  лишено  физического  смысла, или наоборот, увеличиваться

до нереально больших значений, если

  в [8] для устранения возникающих колебаний, растущих при  по амплитуде даже при соблюдении  усло - вий устойчивости,  предложил сглаживание профиля плотности на каждом временном слое (сначала по направлению ?, затем по ?) по формуле причем для устойчивости счета требуется, чтобы 

  Эти факты и ряд других, поставили вопрос об ошибочноcти вычисления плотности по алгоритмам типа (9.1.3) и поиске принципиально иных алгоритмов решения уравнений вязкого сжимаемого газа. Такой алгоритм  обоснован в [6], [13] и данной книге,  где  выведено, что реализация закона сохранения массы  (9.1.1)  производится через функцию давления 

т. е. замкнутая система  разностных уравнений для вычисления давления  конструируется  из разностных аналогов уравнения неразрывности. Имея в виду, что градиент давления входит в уравнения  вязкой жидкости, как сжимаемой, так и несжимаемой  одинаково, только для сжимаемого газа плотность определяется давлением и температурой газа , а для несжимаемых сред , технология построения этих сеточных уравнений совершенно аналогична технологии, изложенной в данной книге для уравнений несжимаемой жидкости.

  В монографии автора [6] методом энергетических неравенств исследованы вопросы устойчивости и однозначной  разрешимо - сти семейства полуявных и полунеявных схем для уравнений Навье-Стокса, теплопроводности и диффузий с учетом  хими - ческой реакции горения в цилиндрической системе координат. Для давления выводится замкнутая система разностных уравне - ний. Из зарубежных работ  по численному решению уравнений  сжимаемого газа следует отметить статью D. G.Lilley// Простой метод расчета скоростей и давления в сильно завихренных тече - ниях // Ракетная техника и космонавтика. 1976. Т.14, июнь, с.57-67. Эта работа близка по основной идее, но в ней в трехмерных  задачах используются 4 сдвинутые на полшага друг относитель - но друга пространственные сетки, в двумерных на одну сетку меньше, тогда как в методах данной главы, используется одна сетка, что значительно упрощает теоретический анализ и сос - тавление программ. Сдвинутые на полшага сетки содержат значения искомых функций вне физической области течения, а их определение вносит неисправимые погрешности в результаты расчетов, что подробно обсуждается в главе 5.

9.2. Полунеявная разностная схема полных уравнений сжимаемого вязкого газа

  Принципы построения полуявных, полунеявных, метода дробных шагов схем для уравнений Навье-Стокса совершенно - го газа изложены в  [3],  [13] ,  [14] и монографии  [6].

  В данном параграфе технология конструирования схем на од - ной пространственной сетке  [3],  [6], [13] , [14] применяется  для  новых систем уравнений, обоснованных в главах 1 и 3:

 

при начальных условиях 

 

и краевых  условиях  на  границе  области  интегрирования

y                x

  Рис.1