Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 33 )

1) 0.982  0.982  0.982  0.982  0.981  0.980  0.979  0.978  0.978  0.979  0.980  0.981  0.983  0.985  0.988  0.990  0.994  0.997  0.998  1.000

2) 0.923  0.923  0.924  0.924  0.925  0.926  0.927  0.928  0.929  0.930  0.932  0.933  0.935  0.937  0.938  0.940  0.942  0.944  0.946  0.947

3) 0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.903  0.904  0.904  0.904  0.904  0.904  0.904  0.904  0.904

  Распределение продольной составляющей скорости  u  в поперечном сечении  ,:

0.090  0.176  0.259  0.339  0.417  0.493  0.566  0.636  0.700  0.760  0.811  0.855  0.892  0.922  0.946  0.964  0.977  0.986  0.991  1.000

отличается от значений, полученных из решения  уравнений Прандтля для стационарной скорости :

0.000  0.108  0.216  0.324  0.429  0.530  0.625  0.711  0.784  0.845  0.893  0.929  0.954  0.971  0.983  0.990  0.994  0.996  0.998  0.999  1.000.

  В течениях несжимаемой жидкости  вследствие  торможения частиц на твердой обтекаемой поверхности на  внешнем крае пограничного слоя  поток не  будет  однородным  ,

поперечная составляющая скорости будет отличной от нуля, но

будет справедливо условие экстремума .

  Итак, подход Прандтля к вычислению давления по формуле (4.3.16), да и сама стационарная система  (4.3.17), (4.3.18) проти - воречат уравнению  фундаментальной связи  (4.3.7)  между дав - лением и скоростью, а это означает, что закон сохранения массы не выполняется.

4.4. Ламинарные пограничные слои при сжимаемом течении

  Аналогичными парадоксами обладают и уравнения ламинар - ного пограничного слоя с переменной плотностью [1 ]:

,

  , , 

  Правильными, т. е. не нарушающими второго закона Ньютона и закона сохранения массы, будут следующие уравнения

,

,,

4.5. Трехмерные пограничные слои

  Очевидно,  уравнения трехмерного пограничного слоя [1]:

,

, 

,

обладают теми же недостатками, что и  (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6). 

  Данные уравнения  должны  быть  заменены следующими 

,

,

,,

но объективнее всего будет применение полных уравнений  динамики вязкой жидкости [3].

4.6. Теорема о нефизичности автомодельных уравнений Блазиуса 

  В системе уравнений (4.3.17), якобы моделирующего по Прандтлю

  ,  (4.6.1)

  ,   (4.6.2) 

стационарное течение в пограничном слое для однородного по - тока, набегающего на обтекаемую поверхность с постоянной скоростью , градиент давления по теории Прандтля равен нулю , следовательно, нет движущей силы (в численных экспериментах 4.3  показано ). 

  Течение вязкой жидкости после прекращения  действия движуших сил происходит по инерции и начинает замедляться до полной остановки. Такое движение, очевидно, будет существенно нестационарным.

  В самом деле, из скалярного произведения уравнения динамики на вектор скорости

для кинетической энергии вытекает

Данное энергетическое соотношение, если нет движущих сил , переходит к форме . В гл.3

была показана пропорциональность силам трения : . Вводя коэффициент пропорцио - нальности найдем.Силы трения замед - ляют (тормозят) движение, поэтому производная будет отри - цательной , а значит кине - тическая энергия и скорость  будут убывать до полной ос - тановки течения. Математическое доказательство неравен - ства , вытекает из того, что лапласиан явля - ется отрицательно-определенным оператором,  для которо - го в классе финитных функций имеет место неравенство  .Тормозящееся движение жидкости существенно нестационарное и в уравнении (4.6.1) обязательно должна присутствовать производная по времени:

    (4.6.3) 

  Блазиуса данный факт проигнорировал и с помощью  автомо - дельных переменных 

получил известное обыкновенное дифференциальное уравнение

 

  В силу доказанной нестационарности движения жидкости при нулевом градиенте давления уравнение Блазиуса  не имеет фи-

зического смысла, так как оно не соответствует нестационар - ному уравнению (4.6.3). 

  При действии движущих сил, т. е. когда уравнение  (4.6.3) для стационарных течений  можно продифферен - цировать по  y:

    (4.6.4)

и в  силу  допущения  Прандтля  (4.6.2) воспользоваться равен-ством . В этом случае из (4.6.4) получается уравнение 3-го порядка в отличие от уравнения (4.6.1):

    (4.6.5)

  Введение функции тока   позволяет

интегрировать уравнение неразрывности (4.6.3) и из (4.6.5) вы - текает уже уравнение четвертого порядка для функции тока :

  (4.6.6)

  В автомодельных переменных Блазиуса получается обыкно - венное дифференциальное  уравнение  4 порядка

    (4.6.7) 

в отличие от уравнения  3  порядка  Блазиуса  !