Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 32 )

и  окончательный вид уравнений Прандтля будет таким

,

  Последнее уравнение  указывает на то, что давление будет функцией  только  x и t:  , а так же .В результате для двух искомых функций имеется всего одно уравнение. Полученное  противоречие, очевидно, связано с тем, что в системе Прандтля пренебрежено  проекцией второго закона Ньютона на ось y.

  Приравнивание к нулю ускорения в стационарных течениях оправдывается соображениями такого рода: что члены конвективного переноса нич - тожно малы. Стационарность, конечно, может иметь место, но некоторые произведения в выражении могут быть вовсе не малыми. Покажем это на аналоге только одного из произведений  этого выражения переноса, например, на . Пусть  где очень боль - шое но конечное число,параметр, обеспечивающий малость функции , ее производная равна . Поэтому произведение будет конечным числом, не  равным нулю,  достаточно положить. То же самое будет иметь место для целого класса функций со слабыми разрывами. Таким образом, приравнивание к нулю ускорения

не всегда правомерно. Неправомерно, в первую очередь из-за противоречия с основным законом динамики – со вторым законом Ньютона, который гласит:  действие силы вызывает  ускорение, не равное нулю.

  Логичное требование строгого выполнения второго закона Ньютона дает вместо ошибочной системы Прандтля (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6) следующую приближенную систему:

,

,

  Данная система также получена из уравнений Навье, исходя из  проделанных оценок, по которым  все члены второго уравнения этой системы одного порядка малости:

,

только поперечный градиент давления  более высокого порядка  малости  , но его нельзя отбрасывать по той простой причине, что этот градиент, несмотря на малость более высокого порядка, является  по второму закону Ньютона движущей силой, обеспечивающей движение жидкости в поперечном направлении!

  Короче говоря, в уравнении (4.3.2) сохранены все  величины, кроме второй производной по x, тем самым  второй закон Нью - тона  выполняется  полностью,  т. е. в обоих направлениях, в от - личие от ошибочной системы  Прандтля (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6).

  Очевидно,  для этих уравнений аналогом фундаментальной связи (4.2.4) будет  уравнение для давления  в следующем виде

  Данное уравнение можно  свести к форме

,

имея в виду уравнение неразрывности. 

  В данной системе для  трех  искомых функций  u, v,p  имеются соответствующие  3 уравнения, причем  реализуются  второй закон Ньютона  и закон сохранения массы, а также удовлетворяется фундаментальная связь (4.2.4), в отличие от уравнений Прандтля (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6).

  Стационарные уравнения  Прандтля

  ,  (4.3.10)

  ,  (4.3.11)

    (4.3.12)

обладают теми же недостатками, что и (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6).

  На основании (4.3.11) , поэтому уравнение  динамики (4.3.10) записывается в виде

    (4.3.13)

  По аналогии  с (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6) здесь тоже  для трёх искомых функций u, v,p  имеют место только 2 уравнения (4.3.12) и (4.3.13), не хватает уравнения для вычисления поперечной  составляющей v, потому что согласно концепции  (4.2.4)  в  стационарном случае из  (4.3.13)  можно  вычленить 

    (4.3.14)

и, подставляя в уравнение закона сохранения массы (4.3.12-21),  получить уравнение для давления в виде

  [  (4.3.15)

  Уравнение (4.3.15) образует систему вместе с уравнением ди - намики (4.3.13)  и снова для трёх искомых функций u, v,p  имеют место только 2 уравнения (4.3.13)  и (4.3.15), причем уравнение неразрывности  (4.3.12) является  следствием уравнений (4.3.13) и  (4.3.15).

  Как известно [1], [2],  Прандтль  для  вычисления  давле-

ния  p не применяет данное уравнение  (4.3.15) или (4.3.9) , тем самым нарушена фундаментальная связь между дав - лением и скоростью. Имея в виду (4.3.11) или (4.3.5) , т. е. за - висимость давления  в только от x и t:  p=p(x, t), Прандтль рас –сматривает уравнение (4.3.8)  во внешнем  набегающем  потоке,  считая его движущимся со скоростью  u=, v=0, и полу - чает для градиента давления соотношение

    (4.3.16)

  Очевидно, подход Прандтля (4.3.16) противоречит  уравне - нию фундаментальной связи (4.3.9). В стационарных течениях, полагая  внешний поток также однородным 

u==const, v=0,

Прандтль из (4.3.16) выводит равенство нулю градиента давле - ления ,  следовательно, по Прандтлю в пограничном слое  давление получается  постоянным во всем потоке p=const и уравнения (4.3.4), (4.3.5), (4.3.6)  упрощаются до предела

  ,  (4.3.17)

    (4.3.18)

  В данной системе  (4.3.17), (4.3.18)  продольная скорость  u определяется  из  второго закона Ньютона (4.3.17), поперечная скорость v  определяется  из  уравнения  неразрывности (4.3.18), что полностью входит в противоречие  с  приведенными  в  4.1, 4.2, 4.3  доказательствами.

  Ошибочность уравнений  Прандтля  (4.3.17), (4.3.18)  подтверждена численным  решением  уравнений  Навье (4.3.1), (4.3.2), (4.3.3) по полуявной схеме [3], примененной  для расчета продольного обтекания  пластины длиной L в области , переведенной в  безразмерную область . Расчеты, проведенные  при числе  Рейнольдса на сетке  , показали, что в пограничном слое пластины давление есть функция  обеих переменных x, y, градиенты давления отличны от нуля:  .

  Приведем таблицу значений давления р в трех поперечных сечениях  пластины 1) , 2) ,  3):