Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 6 )

или в эйлеровых переменных

   

и выражает изменение элементарного объема среды во времени при заданном  ее  движении, т. е.  .

1.3. Парадоксы  интегрального  вывода  уравнений  динамики сплошной среды

  В  [1], [2], [3], [4] применяется интегрирование по объему , таким образом, уравнения динамики сплошной среды выводятся дедуктивным методом. Именно применение дедуктивного  метода привело к ложному положению o симметричности тензора напряжений. Отправным пунктом является закон изменения  импульса (или количества движений)  для  системы 

точек с массами и скоростями :

  ,  (1.3.1)

где  = - импульс (количество движения)  час - тицы  с массой  ,  движущейся под действием результи - рующих сил ,  в которые входят все силы, действующие  на частицу с  номером  i, как  внешние так и  внутренние  силы  взаимодействия частиц между собой. При  суммировании  эти  внутренние силы по третьему закону Ньютона сокращаются  попарно (см. [7]). 

  В дедуктивном методе закон (1.3.1) применяется к произволь - ному объему с поверхностью , внешняя нормаль  кото - рой обозначена Закон изменения импульса записывается для произвольного объема в виде: 

    (1.3.2)

  В  [1]  преобразование  левой  части  (1.3.2)  производится  по формуле  (1.1.11)  1.1:

, 

но в [2] применяется формула Лейбница. Очевидно, в интеграль - ном выводе уравнений динамики сплошной среды возникают проблемы с вычислениями  или производной от мо - ментов и т. п., на что было указано в виде пяти формул в 1.1. Удачные применения формул Лейбница или (1.1.11) 1.1 связаны с тем, что уравнения динамики сплошной среды должны были соответствовать теореме об изменении импульса или второму закону Ньютона.

  Первое, что обращает внимание, в поверхностном интеграле в (1.3.2) учтены только силы, действующие на частицы, расположенные на поверхности объема , т. е.  не учтены внутренние напряжения, действующие на частицы поверхности индивидуального объема  , содержащего массу совокупности частиц,  С учетом этих сил  интегральное выражение должно иметь исходный  вид

    (1.3.2а) 

  Далее,  объем    действует  на  другой  объем    с силой    и,  наоборот,  объем действует с

силой  на объем , то  по третьему закону Ньютона имеет место равенство . В результате сокращения этих сил при суммировании получается равенство

    (*)

т. е. такое должно быть обоснование (1.3.2). Из правильно составленного выражения (1.3.2а), если применить к левой части формулу Лейбница или формулу  (1.1.11) 1.1, выводится уравнение динамики сплошной среды в напряжениях, то есть нет необходимости перехода к формуле (1.3.2).

  В теореме об изменении момента импульса

    (1.3.3)

которая  применена в  [1]  к объему аналогично (1.3.2),  равенство типа  (*)  не имеет места. Согласно приведенным выше рассуждениям правильно составленная теорема об изменении момента импульса (количества движений) имеет вид

    (1.3.3а)

  Из  (1.3.3)  выводится  равенство, используемое  в  [1]  и др.,

со всеми вытекающими отсюда противоречиями о симметрич-

ности  тензора  напряжений  сплошной  среды.

  Из правильно составленного выражения (1.3.3а) получается соотношение 

из которого следует уравнение динамики в напряжениях

,

следовательно, не возникает вопроса о симметричности тензора напряжений, что имело место в неправильной формулировке (1.3.3).

  Другой  парадокс  состоит  в  том, что для вывода основных

уравнений механики сплошной среды нет никакой необхо - димости в интегральных формулах типа (1.3.2), (1.3.3). 

  Действительно,  пусть  масса индивидуального объема равна , плотность, - плотность массовых сил,  - напряжение.  Теорему  об  изменении импульса нужно сформулировать не - посредственно для  объема ,  имея в виду, что главная поверхностная сила, действующая  на поверхность    объема    равна  ,  главная

массовая сила,  действующая  на  объем ,  равна :

    (1.3.4)

  Далее, по  теореме  Остроградского-Гаусса  осуществляется  переход  к объемному интегралу

  , 

  По  теореме  о  среднем значении  определенного  интеграла и

малости  индивидуального  объема   получается    ,

следовательно, имеет место равенство

    (1.3.5)