Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 26 )

3.7. Сравнения с экспериментальным профилем осредненной скорости турбулентного течения в круглой трубе и областях применимости степенных реологических законов

  Осевая скорость установившегося одномерного течения вяз-

кой жидкости в круглой трубе получается из уравнения в цилин -

дрических координатах:

решение  которого  имеет вид 

 

  На рисунках 1-5 представлены картины сравнения с осред - ненной скоростью турбулентного течения (обозначено звездоч - ками), приведенного в учебнике [7] на стр.670. Обращает внимание рис.1, где нанесены профили скорости ламинарного течения в трубе, соответствующие  закону  трения Ньютона и решению уравнений Навье-Стокса

  Поражает громадное различие между скоростью турбулент - ного течения и ламинарным течением Хагена-Пуазейля. Очевид - но, такой параболический профиль можно создать  только для  очень малых скоростей.  Например, критическое число Рейноль-

дса для течения в круглой трубе приблизительно равно 2300 (см. [10]). Кинематическая вязкость воды при температуре  20оС  равна . При этих данных  критическая скорость течения в трубе с диаметром  d=1м будет равна , т. е. около 2-х миллиметров в секунду (что сравнимо со скоростью улитки), для сохранения ламинарного режима течения скорость потока должна быть еще меньше.

  Разумеется, многочисленные попытки моделирования на ос - нове реологического закона Ньютона высокоскоростных турбу - лентных течений оказались безуспешными, чему очевидной  причиной являются ошибочные положения о симметричности тензора напряжений сплошной среды, гипотеза Стокса и уравнения Навье-Стокса.

  Итак, на рис.1 представлено сравнение с турбулентным про - филем решения уравнений Навье-Стокса, чему соответствует показатель степени и закон трения . 

  На рисунках  2, 3, 4 представлены эпюры скоростей, соответ-

ствуюшие  законам  трения  с  показателями  степеней

Осредненный турбулентный профиль соот-ветствует числу

  На рис.5 приведено сравнение теоретического значения при значениях показателей степеней с эксперименталь - ным турбулентным профилем. Наблюдается почти полное сов - падение. 

 

  Рис.1  Рис.2 

  Рис.3  Рис.4 

  Рис.5

  Таким образом, с увеличением показателя степеней наиболее совпадающие с экспериментом результаты получаются при по-казателях степеней . Очевидно, с такими реологическими законами имеет смысл моделировать те или иные турбулентные течения, варьируя безразмерные параметры. 

  Анализируя содержания теорем 1, 2, Утверждений 1-3 и сравнения с экспериментом на рисунках 3-5, необходимо сделать очевидные выводы о границах применимости степенных реологических законов. Низкоскоростным течениям соответствует закон трения (Ньютон). Степенные законы трения (Джакупов), обоснованные здесь, соответствуют среднескоростным  течениям при показателях степеней ,  высокоскоростным течениям при показателях степеней и выше. 

3.8. Уравнения осредненных по времени скоростей и пульсаций

  Рассмотрим для несжимаемой  и изотермической жидкости  систему уравнений с кубическим законом трения:

 

  Уравнения для осредненных величин получаются традицион-

ным образом по искусственному методу Рейнольдса в виде

  (3.8.2)

На основании  (3.8.2) из (3.8.1) выводятся уравнения  пульсаций

    (3.8.3)

  По методу 3.3 для образования замкнутой системы из уравне - ний  (3.8.2) и (3.8.3) применяется формула

для  замены  осредненных  нелинейных  членов  с пульсациями

Из уравнений, соответствующих  5 степенному закону трения

  получаются уравнения для осредненных величин

и, соответственно, уравнения пульсаций

 

  Далее, по методу 3.3 для образования замкнутой системы  уравнений  применяется 

для замены осредненных нелинейных членов с пульсациями

   

  Уравнения пульсаций для 7 и 9 степенных законов трения при постоянных коэффициентах вязкости и плотности ,   выводятся аналогичным образом

  Как видно, с увеличением показателя степени уравнения для пульсаций и осредненных по времени гидродинамических функ-ций становятся громоздкими  для  моделирования турбулентных

течений.

  На рис.6 приведены продольные скорости течения между па - раллельными плоскостями ( течение Куэтта ), вызван - ного движением верхней стенки канала в своей плоскости.

Рис.6

3.9. Адекватное моделирование течений вязкой жидкости

требует определения тензора напряжений по закону трения, соответствующему скорости в данной точке потока

  Совершенно очевидно и не требует доказательств, что в тече-ниях вязкой жидкости, тем более в турбулентном режиме, ско - рости будут различными по величине и направлению, следова-тельно, будут переменными и законы трения в точках потока

 

  Например, при продольном двумерном обтекании пластины продольная скорость во много раз больше поперечной скорости: . Следовательно, в направлении оси должен работать один из законов трения

  и т. д., а в поперечном направлении  - законы с более низкими показателями степеней

и т. д., что должно быть учтено в формулах касательных и нор - мальных напряжений в двумерном течении

и в уравнениях динамики

(3.9.1)

  С данными уравнениями поставлен ряд численных экспери - ментов продольного обтекания пластины. Краевые условия в безразмерных переменных приведены на рис.7.