Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 7 )

  Подставляя  (1.3.5)  и  в  (1.3.4) ,  находим

    (1.3.6)

  Левая часть (1.3.6) преобразовывается на основании формулы  (1.1.4)  1.1  и уравнения неразрывности  : 

=+,

откуда после сокращений    получается классическое уравнение  динамики  сплошной среды  в напряжениях 

1.4. Индуктивный  метод

  Индуктивный метод (от частного к общему) свободен от ука - занных  выше  недостатков, потому  как  используется  понятие

частицы  сплошной  среды. «Жидкий »  индивидуальный  объем  составлен именно из этих частиц с массами и скоростя - ми  . (Если бы с самого начала развития механики сплошных сред применялся индуктивный метод, то не было бы проблемы симметричности тензора напряжений! В связи с чем здесь  дос - точно  подробно  излагается  этот  физичный метод.)

  Предполагается в силу сплошности  среды, что в содер - жится сумма частиц  ,  среднемассовая скорость    объемаопределяется  как  отношение 

аналогично  определяется  среднемассовая  сила,  действующая  на : ,  откуда плотность , [2].

  Теорема об изменении импульса системы материальных точек  применяется к элементарному индивидуальному объему сплошной среды , в которой находится совокупность частиц , а не к конечному объему , собственно говоря,  в этом  заключается  вся  суть индуктивного  метода: 

  ,  (1.4.1)

где  - главное напряжение, действую - щее на поверхность , участок по-верхности  ,  которую занимает частица , находя - щаяся под действием напряжения ,  поверхность индивиду - ального объема равна: . ( В формуле (1.4.1)  стоит знак интеграла в своем истинном смысле суммирования по поверхности   бесконечно малых величин, что будет применяться и в дальнейшем.)

  Формула (1.4.1) в эквивалентной записи принимает уже ис-

пользованный выше вид

  ,  (1.4.2)

откуда  получается, как было  показано,  уравнение  динамики сплошной среды в напряжениях.

  В некоторых учебниках поступают проще, не применяя тео - рему о среднем интеграла, а пользуясь предельным переходом,  взяв в качестве  элементарного объема   параллелепипед с гранями  .  Закон изменения импульса для параллелепипеда с суммой час - тиц записывается с учетом массовых и поверх - ностных сил. В результате в приложении к параллелепипеду  теорема об изменении импульса примет вид, который аналогичен (1.4.2):

    (1.4.3)

где  . 

  Сравнение (1.4.3) с (1.4.2) показывает, что поверхностный интеграл для параллелепипеда вычисляется по его граням:    В результате получается следующее значение интеграла

 

  Используя формулу  и равенство  напряжений 

  ,  (1.4.4) 

поделив  на  объем ,  приходим  к  выражению

    (1.4.5)

  Очевидно, предельный переход в (1.4.5) дает уравнение динамики сплошной среды в напряжениях 

    (1.4.6)

  При равенстве нулю уравнения неразрывности (нет источни - ков и стоков)    данное уравнение (1.4.6) совпадает с уравнением (1.3.10)  из 1.3.

  Здесь  не  используются  теорема  Остроградского-Гаусса  и  теорема  о среднем  интеграла.

  Уравнение баланса энергий выводится таким же способом. Для  элементарного  параллелепипеда    сплош - ной  среды закон сохранения энергий формулируется в виде

 

    (1.4.7)

где  - значения вектора скорости на площадках

в сечениях  , и т. п., - вектор потока тепла, -полная энергия объема,