Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 18 )

с центром в точке ,

изображенная на рисунке.

  Для сферы  и . Чтобы опровергнуть вытекающее из (1.3.7) утверждение Бэтчелора о симметричности тензора напряжений достаточно рассмотреть данный случай. Очевидно, оценки «…порядка …» подразумевают применение  теоремы о среднем интеграла, вследствие чего имеют место равенства

После подстановки из (1.3.6) получается

    (1.11.1)

  Формула (1.11.1) легко обобщается на объем произвольной формы, если положить поверхность , объем :

    (1.11.2)

  Первый парадокс Бэтчелора содержится в формулах  (1.11.1) и (1.11.2).

  Проделав  очевидные  сокращения  и ,  получаем

  ,(1.11.3) 

(1.11.4) 

 

  По Бэтчелору «…Если теперь объем устремить к нулю…», что эквивалентно устремлению к нулю радиусов , то из (1.11.3)  и  (1.11.4) вытекают соответственно равенства  0=0, т. к. при этом в левых частях , то есть никоим образом не получается формула (1.3.7) Бэтчелора, следовательно, тензор напряжений сплошной среды не симметричен . 

  Второй парадокс Бэтчелора  состоит в следующем. 

  Очевидно, .  На основании этого в формуле (1.11.3) произведем оценку, положив ,  именно

при этом получается оценка по Бэтчелору  полного  момента массовых сил (нижний значок опускается):

  После сокращения  имеет место

 

  Устремим объем к нулю, то есть  r  к  точке , тем самым . Получается

    (1.11.5)

  Но левая часть формулы (1.11.5) по определению не равна нулю: , следовательно, формула  (1.3.7)  Бэтчелора не равна нулю ! Тем самым доказана несимметричность тензора напряжений сплошной среды .

  В предыдущих параграфах настоящей книги была дана кри-тика дедуктивного подхода , George E. Mase,  , использовавших интегральные формулы

  ,  (1.11.6)

    (1.11.7)

для доказательства симметричности тензора напряжений сплош - ной среды,  которая неизбежно вытекает из получающегося из (1.11.6) и (1.11.7) соотношения

    (1.11.8)

ошибочность которого установлена в 1.10, причем для вывода уравнения (1.11.8) из интегральных формул (1.11.6) или (1.11.7) используется физическая связь . Более того, радиус-вектор не стремится к нулю, может принимать любые значения .

  В дедуктивном подходе Бэтчелора из рисунка видно, что для произвольно расположенного объема имеет место неравенство , и только в случае совпадения точки с началом  системы координат 0 имеет место равенство , ибо в этом случае будет .

  Основной парадокс Бэтчелора состоит в устремлении к нулю произвольного объема , что равносильно в случае сферы устремлению к нулю радиуса  или . В дедуктивном методе , George E. Mase,  и др. объем произвольный, причем . По определению момента любого вектора , если плечо равно нулю , то и момент равен нулю: , следовательно, использование для доказательства  симметричности тензора напряжений нулевого момента является ошибкой.

1.12. Аналог гипотезы Стокса. Антисимметричный тензор

  Напряжений

  В  1.7  был  поставлен  логичный  вопрос:  если  по  гипотезе Стокса симметричные напряжения    (1.12.1)

вызваны  деформационными смещениями

  ,

то какие же напряжения создают стоящие в ряду Тейлора (в конвективной части  ускорения)

(1.12.2) 

вращательные смещения или ?

  Чтобы ответить на этот вопрос выдвигается по аналогии с ги - потезой Стокса альтернативная  гипотеза: пусть касательные напряжения будут пропорциональны компонентам вращатель - ного смещения, т. е. имеют место антисимметричные (кососим - метричные) напряжения  следовательно, альтернативный  тензор напряжений будет иметь вид

, (1.12.3) 

  Подставляя (1.12.3) в уравнения динамики в напряжениях