Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 67 )

  Последние приближения

 

принимаются  в качестве решений. 

Литература

1. и Основы вычислительной 

  математики. - изд-во «Наука», М.,1970, с.661.

2., Численное моделирование диффузионного 

  горения в закрученных потоках двухфакельной топки //  Сибирский

  физико-технический журнал, 1991, вып.6/91,с.83-93.

Глава 14. О НЕАДЕКВАТНОМ ПРИМЕНЕНИИ ФОРМУЛЫ  Эйлера ДЛЯ  СКОРОСТИ ТОЧЕК СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

  В части первой «Основного курса теоретической механики»  - М.: Изд-во «Наука», 1967г. на стр.156 приводится  формула  скорости точек  свободного твердого тела

  ,  (1)

где  А -  произвольно взятая точка твердого тела,  - скорость в этой точке, - радиус-вектор точки А, соответственно, и - скорость и радиус-вектор какой-либо другой точки, - мгновенная угловая скорость вращения тела вокруг оси, проходящей через точку А, - скорость по формуле Эйлера.

  Пусть в неподвижной декартовой системе координат {}с единичны - ми ортами , относительно которой происходит движение твердо - го тела, данные векторы имеют разложения по осям: 

  ,,

, , 

 

  Удобно применять, ради краткости,  обозначения

  Имеет место теорема о неоднозначности определения значения угловой скорости в формуле (1).

Теорема 1. Пусть известны скорость точки А и скорость произвольно взятой точки твердого тела, а также  их радиус-вектора и , т. е. заданы и . Имеет место следующее обстоятельство: проекции   угловой скорости при заданных и определяются  неоднозначно, следовательно, угловая скорость имеет бесконечное число значений и направлений.

  Доказательство. В данных обозначениях формула (1) записывается кратко

  ,  (2)  что в проекциях на направления ортов  дает уравнения относи - тельно искомых :

    (3) 

  Определитель данной системы равен нулю

=0,

следовательно, система (3) имеет бесконечное множество решений, выражен - ных через одну из переменных, например, :

    (4)

подставляя  (4) в первое уравнение системы (3)

 

после сокращений получаем

  ,  (5)

что в векторном виде означает равенство нулю скалярного произведения , а это следует из (2), где в левой части стоит векторное произведение, а именно

.

Теорема 1 доказана.

  Более простое доказательство теоремы 1 вытекает из следующего равенства

  ,  (6)

где угол между векторами и . Из (6) вытекает

  ,  (7)

меняя угол (что равносильно изменению направления мгновенной оси вращения) получаем  модуль угловой скорости какой угодно величины! 

  Теорема2. Пусть известны скорость точки А и скорость произвольно взятой точки твердого тела, а также  угловая скорость и радиус-вектора , т. е. заданы , и . Имеет место следующее обстоятельство: проекции радиус-вектора при заданных и  определяются  неоднозначно, следовательно, радиус-вектора имеет бесконечное число значений и направлений.

  Доказательство. Из формулы (1) в данном случае получаются уравнения  относительно  других  искомых,  которыми  теперь являются :

    (8)

Определитель данной системы равен нулю =0, поэтому решение совместной системы (8) получается аналогичным решению системы (3), т. е. система (8) имеет  бесконечное множество решений . А это означает, что бесконечное множество точек твердого тела имеют одинако - вые скорости . Теорема 2 доказана.

  Только для плоско-параллельного движения твердого тела  имеет место однозначное определение угловой скорости.

  В этом случае