Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 4 )

откуда после преобразований получается в пределе

    (1.1.8)

  Итак, из (1.1.8) вытекает иная формула  производной

  ,  (1.1.9)

что отличается от формул Эйлера, Лейбница и формулы (1.1.7).

  Второй подход. Применен в [1] . Считается, что объем    является фиксированной  областью сплошной  среды, т. е. не является функцией времени  . Парадокс здесь состоит в том, что  область интегрирования должна быть суммой индивидуальных  объемов , зависящих от времени в силу (1.1.4) .

  Отношение приращений во втором подходе будет такое

    (1.1.10)

где область интегрирования не изменяется во времени в силу . Из (1.1.10)  после  аналогичных преобразований

получается в пределе

  В результате для фиксированного объема получается формула

  ,  (1.1.11)

т. е. дифференцирование можно внести под знак интеграла. 

  Теорема 1. В зависимости от подхода к вычислению пол - ной производной по времени,  кроме  формул  Эйлера  (1.1.1)  и Лейбница (1.1.2), имеют место еще 3 представления: (1.1.7), (1.1.9), (1.1.11).

  Доказательство данной теоремы изложено выше.

  Как известно из  [1], [2], [3], [4], [5] и др. для раскрытия выра - жений типа применяются формулы (1.1.3) или (1.1.11), что в этих  учебниках составляет  основу дедуктивного метода вывода дифференциальных уравнений динамики, балан - са энергий, уравнения неразрывности и др.

  Именно дедуктивным методом получено известное диффер - енциальное  соотношение для моментов

   

из которого выводится ошибочное положение о симметричнос - ти тензора напряжений сплошной среды.

  В индуктивном методе производные типа не применяются  и  доказывается  неравенство нулю выражения

 

откуда следуют неравенства о несимметричности

тензора напряжений сплошной среды в обшем случае.

  Действительно, левая часть данного выражения в силу урав - нения динамики  сплошной среды в напряжениях равна следую-

щему выражению: из которого следует неравенство

  , 

что является доказательством несимметричности тензора напряжений сплошной среды

.

1.2.Парадоксы  деформационного  движения

элементарного объема сплошной среды

  Как известно, в механике сплошной среды фигурирует сим - метричный тензор скоростей деформаций(см. [1], [2], [3], [4]). Целью параграфа является доказательство того, что несиммет - ричный тензор перемещения  обладает такими же свойствами.

  В теории деформационного  движения элементарного объема  и  с целью установления реологических  законов  динамики  вязкой  сплошной  среды  широко используется  ряд  Тейлора

  , 

в фиксированный  момент времени t.

  Ряд Тейлора  в матрично-векторной  форме  имеет  вид

  +,  (1.2.1) 

где стоит  матрица,  именуемая  в дальнейшем  тензором  перемещения:

  Обозначая  элементы  данной  матрицы 

можно  записать тензор перемещения, по аналогии с известным  в гидромеханике  тензором  скоростей  деформаций  , в виде:

 

  Теорема 2. Тензор перемещенияобладает теми же свойствами, что и тензор скоростей деформаций . 

  Доказательство. Следуя  [1],  введем три скорости   относительного  удлинения  жидких элементарных  векторов    расположенных вдоль осей прямоугольной  системы  координат с  началом  в некото - рой точке  М:

    (1.2.2)  и три скорости скошения координатных углов   между осями,  которые до деформации были равны  . Из скалярных  произведений  вытекают  косинусы этих углов

    (1.2.3)

  Производные  по времени от этих углов  обозначаются 

 

  В основу определения  кинематического смысла  компонент тензора перемещения полагается соотношение

  ,  (1.2.4)

которое вытекает из  равенств:

 

  В силу , формула (1.2.1) представляется в виде

    (1.2.5)

  После подстановки (1.2.4) в (1.2.5) получaeтся  равенство

    (1.2.6)

  Полагая  в  нем    последовательно  равным    и проектируя  на  три оси координат,  найдем