Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 53 )

10.5. Граничные условия типа Неймана

  На той же двумерной задаче рассмотрим постановку  гранич-

ных  условий  Неймана  на  участках  и границы, на  и

они уже имеются: 

  ,  (10.5.1)

  ,  (10.5.2)

  По закону Дарси (10.1.4) ,  из граничных условий (10.5.2) вы - текает, что на участках  и границы скорости равны

  ,    (10.5.3) 

  Таким образом, граничные значения

должны быть таковыми, чтобы выполнялось  условие  (10.4.6),  а  в трехмерной  задаче  условие  (10.3.3).  Должно  быть  выполнено условие  разрешимости  (10.4.3’) с  учетом  краевых  условий (10.5.1-18), (10.5.2) .

  Парадокс  применения “ закона Дарси ” в виде многомерной задачи (10.1.4) , (10.1.5) заключается в том, что в силу уравнения неразрывности (10.4.2) для u достаточно одного граничного ус - ловия , а из-за  (10.5.3)  имеет место второе гранич - ное условие  ,  что  является лишним, так как уравнение (10.4.2) первого порядка по x, аналогичная ситуация возникает и для : два граничных условия ,, ибо  в  уравнении  неразрыв - ности  (10.4.2) стоит  производная , и такая же ситуация лишних граничных условий для компонент скорости возникает в трехмерных задачах.

  Ясно, что граничное условие Неймана

должно удовлетворять критерию разрешимости

  ,

согласно (10.4.3) и равенства

   

z                x

  Рис.2

10.6. Парадоксы «закона Дарси» (10.1.4), (10.1.5) 

  Первый парадокс:  «закон Дарси»  (10.1.4), (10.1.5) в консер - вативном поле сил описывает безвихревое, т. е. потенциаль - ное течение.

  Вычислим циркуляцию вектора скорости по произ-

вольному контуру Г,  которая в теории фильтрации по «закону Дарси»  (10.1.4) , (10.1.5-8)  равна:

    (10.6.1) 

  Пусть течение происходит под действием консервативных сил тяжести

  ,  (10.6.2)

где  П – потенциальная энергия.

  В этом случае подынтегральное выражение в (10.6.1) равно 

  (10.6.3)

  В  силу этого  для  , k=const  интеграл в правой час - ти  (10.6.1) будет  равен  нулю

= (10.6.4)

  В результате  из  (10.6.1) для  потенциальных сил получается  равенство нулю циркуляции вектора скорости по любому замкнутому контуру

    (10.6.5)

  По теореме Стокса имеет место переход  к поверхностному интегралу

    (10.6.6)

  Здесь S  - произвольная поверхность, натянутая на контур  Г. По лемме Дюбуа-Раймонда из (10.6.6) вытекает  равенство  нулю вихря (ротора) скорости

      (10.6.7) 

во всей области течения.

  Другое доказательство равенства (10.6.7) вытекает из тождества

   

  Течения, в которых  вихрь скорости всюду равен нулю , являются, как известно, потенциальными течениями идеальных жидкостей  [3]. Потенциал скорости для двумерных течений рассмотрен -Кочиной в  [1]. В той же книге  [1] признается, что силы сопротивления, которые испытывает частица жидкости в поре, зависят от внутреннего трения жидкости.  Внутреннее трение - неотъемле–ое свойство  вязких жидкостей, в вязких жидкостях потенциальные течения невозможны, ротор скорости отличен нуля . Таким образом, фильтрационное  течение по “закону Дарси” изначально является безвихревым течением идеальной жидкости, в идеальных жидкостях отсутствуют силы трения, нет молекулярного переноса, что противоречит реальности, в особенности, когда изучается движение высоковязкой нефти.

  Второй парадокс:  «закон Дарси» (10.1.4), (10.1.5) противо - речит закону сохранения энергии. 

  Потенциал скорости  Ф  вводится  известной формулой 

    (10.6.8)

  Подставляя (10.6.2) и (10.6.8) в уравнение (10.1.4)  закон  Дарси, найдем

  ,  (10.6.9)

откуда вытекает интеграл

  ,  (10.6.10) 

где  const одна и та же для всей области  течения. С другой сто-

роны, для стационарных безвихревых течений  идеальных жид-костей имеет место интеграл  Лагранжа-Коши  [3]

    (10.6.11) 

  Очевидно  из  (10.6.10) не получается  интеграл Лагранжа-Коши. Приравнивая  const  в (10.6.10) и (10.6.11-30),  приходим к  парадоксальному  равенству для “закона Дарси”

    (10.6.12)

  Парадоксальность  (10.6.12-31) (31)  связана  с  тем, что потенциал скорости Ф  определяется  с точностью до произвольной константы, а   эту константу игнорирует.

  Нетрудно видеть, что интеграл Лагранжа-Коши (10.6.11)  выражает закон сохранения механической энергии в единице объема сплошной среды.

  В течениях  же по “ закону Дарси ”  возникает интеграл (10.6.10). 

  Очевидно, что интеграл (10.6.10)  «закона Дарси» противо - речит закону сохранения энергии  (10.6.12).

  Третий парадокс:  «закон Дарси»  (10.1.4-7), (10.1.5-8) про - тиворечит закону изменения импульса или второму закону Ньютона.