Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 5 )

,  ,  ,

что  согласно  (1.2.2)  дает  связь

,(1.2.7)

откуда вытекают  равенства  диагональных компонент тензора перемещения    соответственно  скоростям  относительных  удлинений  элементарных отрезков, расположенных вдоль осей координат и имеющих начало  в данной точке потока. 

  Вычислим производные по равенств  (1.2.3):

  (1.2.8)

  Данные равенства в [1]  применяются в момент  времени , соответствующий начальному недеформированному состоянию элементарного объема, когда

 

  Из (1.2.8) вытекают, ибо синусы прямых углов равны 1:

    (1.2.9)

  Используя (1.2.6) и правила вычисления  скалярно-векторных

произведений и произведений матрицы на вектор, имеем 

откуда  следуют  в силу (1.2.9)  равенства

    (1.2.10)

  В [1], [2], [3] и др., сообразуясь с формулой первой теоремы  Гельмгольца, вводится тензор скоростей  деформаций 

  (1.2.11) 

  Наряду с  этим вводится  антисимметричный тензор

 

  В сумме имеет место равенство  .

  Используя иное представление (первая теорема Гельмгольца)

  ,   

в  [1] получены  соотношения, аналогичные (1.2.7) и (1.2.10):

    (1.2.12)

  В силу симметричности тензора скоростей деформаций имеют место равенства

    (1.2.13) 

  Парадоксально то, что  как из (1.2.13) так и из (1.2.10) вытекают одинаковые равенства

 

несмотря  на  разительное  различие  тензоров  и !

  Рассмотрим  скорость  относительного объемного расшире - ния среды в данной ее точке

  ,

-  элементарный  «жидкий» объем среды, определяемый тройным скалярно-векторным  произведением элементарных  координатных  векторов 

:  =()

  Вычисляя  индивидуальную производную  по времени,  имеем

=()=

=()+()+

+()

  Для  элементарного параллелепипеда  = и по известному свойству  единичных  векторов осей  координат  , а также  в силу  представлений

, ,

получается

,

в силу чего предыдущее равенство перейдет в следующее 

  =    Используя вновь равенство  (1.2.6), согласно которому

    ,  ,  ,

определяется искомое выражение    в  форме

  =,

где  скалярные произведения  равны

  Окончательно  получается

  =(1.2.14) 

т. е. скорость  относительного  объемного  расширения  элементарного объема среды в данной ее точке равна  дивергенции вектора скорости в этой точке или  сумме скоростей относительных  удлинений

   

  Таким  образом, с применением тензора перемещения установлена  использованная  выше  формула  (1.1.4) 1.1 . Она непосредственно вытекает из  (1.2.14):

    (1.2.15)