Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 62 )

где 

  Параметр выбирается из интервала

  Вычисления останавливаются на таком номере итераций , при котором  выполняются неравенства для невязок

  При  выполнении  данного критерия  последние  приближе-

ния используются в качестве решения

 

Условие устойчивости полуявной схемы: .

  Примечание. Из вышеприведенных явных и полуявных схем автоматически вытекают численные алгоритмы решения двумерных уравнений.

Литература

1. Мейз Дж. Теория и задачи механики сплошных сред.-М.:Мир,

  1974г., 318с.

2. Механика сплошной среды, т.1- М.:«Наука»,1973г.

3. Теория упругости. - М.:  «Наука»,1970г., 984с.

4. Численное решение задач теории упругости.-

  Новосибирск: НГУ, 1969г. С.91.

5. О несимметричности тензора напряжений // 

  Междунар. науч. конф. «Пробл. теор.  прикл. мех.»  Алматы, 1-2 марта 2006г., посвящ. 75-лет.  акад.

Истечение сели по склону горы

Перенос примеси ветром с левой стороны над холмом и зданиями

Глава 12. УНИВЕРСАЛЬНЫЙ МЕТОД УСКОРЕНИЯ СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННЫХ  АЛГОРИТМОВ

  Пусть для нахождения решения уравнения

    (1)

где - заданная величина, - невырожденный линейный опе-

ратор,  для  которого  существует  обратный  , применяется 

какой-либо сходящийся итерационный алгоритм:

    (2)

  Как правило, за исключением большая часть полученной информации о решении с предыдущих щагов итераций остается без дальнейшего применения в том смысле, что не используется повторно.

  Основополагающая идея предлагаемого универсального мето - да  заключается  именно  в  повторном использовании результа - тов  предыдущих итераций (см. [1])

  ,  (3)

как содержащие с той или иной степенью точности ценную информацию об искомом решении  уравнения (1).

  В (3) коэффициенты отыскиваются из условия ми-

нимизации квадрата гильбертовой нормы невязки

,

порождаемой некоторым самосопряженным положительно определенным оператором  D, ради простоты полагается в дальнейшем  D=Е, Е – тождественный (единичный) оператор.

  Определение. Ускорение, осуществляемое линейной комбинацией (3), называется m-циклическим ускорением,  где m – число отличных от нуля параметров , подлежащих вычислению указанным способом.

  Данное определение  предполагает  возможность  предвари -

тельного  выборочного  приравнивания  к  нулю  некоторых

параметров

  Пусть - s-я  итерация ;    -  невязка  s-ой

итерации; суть элементы гильбертова пространства Н; скалярное произведение в Н; норма элемента  ;  областью определения и областью значений оператора  А  является Н.

  Теорема 1 (основная). В m=n+1 – циклическом ускорении

,  (4)

параметры вычисляются как решение системы n  линейных  уравнений 

    (5)

являющиеся необходимыми условиями существования экстремума  функции

,

при этом имеет место неравенство , т. е.

невязки не возрастают.

  Д о к а з а т е л ь с т в о. Подействуем оператором  А  на обе части (4) и вычтем :

Вводя в последнее выражение невязки, находим

  Далее, по определению нормы имеем

    (6)

  Из выражения (6) вытекают необходимые условия существо - вания экстремума в виде  системы линейных уравнений (5). Очевидно, достаточные условия мини - мума также выполнены.

  Выполнение неравенства доказывается ниже методом математической индукции. Приведем наиболее важные следствия из основной теоремы.

  Следствие 1. В двухциклическом (m=2,i=1) ускорении

    (7)

параметры    вычисляются по формулам 

    (8)

Для вывода формул (8) достаточно положить в (5) n=1,i=1.

  Ускорение (7) эквивалентно методу минимальных невязок (м. м.н.) Красносельского-Крейна. В этом методе 

    (9)

параметр находится из условия минимума и равен

    (9’)

  C другой стороны, в силу (7) и (9)

    (10) 

где и в силу (8)