Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 11 )

5) u=T(sinsin),v=T(cos cos), 

6) ux=M(sinsin+coscos),

v=M(sinsin +coscos), 

7) u =S(),  v=-S(),

для трехмерных течений  8) u=D((-)),  v=D((-) ),

w=D((-)),

где коэффициенты  выбираются

произвольно из бесконечного интервала  .

  Стоящие здесь дифференцируемые функции  F, U,W, Q,T, M, S,D  также  произвольны в выборе. Очевидно, из указанного перечня можно образовать новые любые линейные комбинации типа u=F+U, v=F+U и т. д. Поля скоростей  1-7 соответствуют плоским течениям и удовлетворяют двумерному уравнению

неразрывности , поля cкоростей  8) удовлетворяют трехмерному уравнению неразрывности  .

  Для всех этих течений  касательные напряжения  Стокса  тождественно равны нулю во всех точках потоков: 

  Для сжимаемого газа число течений,  в которых  имеют место  нулевые напряжения  Стокса  , бесконеч - но возрастает из-за присутствия в уравнении неразрывности пе - ременной плотности Таким образом, в течениях  с компо - нентами скоростей типа 1,2,3,4,5,6,7,8 симметричные напряже - ния (1.6.2) обращаются в нули  и  получается так, что движение вязкой жидкости происходит без трения, что противоречит фундаментальному закону Ньютона .  Нетрудно вычислить по этой формуле, что касательные напряжения в указанных течениях не равны нулю

    (1.6.6) 

40. Парадокс  гипотезы Стокса в  течении Хагена-Пуазейля в круглой трубе

  Ламинарное течение вязкой жидкости в круглой трубе

(см.[1]) в  цилиндрических координатах имеет скорости 

где радиус трубы, - осевая, - радиальная координаты. 

  По гипотезе Стокса (1.6.2) симметричные касательные напряжения равны между собой и вычисляются по формуле [1]:

    (1.6.7) 

  Рассмотрим течение в положительном направлении оси

которое образуется при  падении  давления  .

При этом  по  формуле (1.6.7) продольные касательные напря-

жения  отрицательны  ,  по гипотезе  Стокса (хотя течение в поперечном направлении r отсутствует) в силу симметричности (1.6.3)  существуют и являются отрицательными поперечные касательные напряжения

их направления показаны на  рис.1.

  По фундаментальному закону трения Ньютона  поперечные

касательные напряжения равны нулю  ,  ибо

, продольные  касательные напряжения  отрицательны 

   

причем как касательные  напряжения  по гипотезе Стокса  так

и касательные напряжения по  формуле  Ньютона  ,

  имеют одинаковые направления против течения.

  При положительном градиенте  жидкость в трубе течет в отрицательном направлении оси (справа налево), касательные напряжения  меняют знаки  в  силу  (1.6.7)  ,  по  закону трения Ньютона  и течение будет  в  направлении 

“”, что отражено на  рис.2. 

 

ось симметрии трубы        стенка трубы

z +a

   

Рис.1 

  При развороте рис.2  на получается рис.3, на котором показано, что течение в трубе направлено в ту же сторону, что и на рис.1.

  Противоречие заключается в расположении не равных нулю поперечных касательных напряжений по гипотезе Стокса , которые на рис. 3 направлены к стенке трубы, а на рис.1 направлены к оси трубы при одинаковой направленности течения, тогда как продольные напряжения в обоих случаях направлены  против течения!