Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 39 )

  Для М=2 на равномерной сетке ,  новая схема (7.1.7) принимает вид

  Для погрешности схемы , где точное  решение задачи (7.1.1), имеет место оценка 

 

откуда вытекает сходимость данных  монотонных  схем (7.1.7), а также и устойчивость схем по начальному условию d  и по свободному члену f, т. е. для возмущения схемы имеет место оценка

 

  Обобщение данной технологии на уравнения в цилиндричес-

кой, сферической и других системах координат, а также на мно-гомерные уравнения не вызывает особых затруднений.

  Следует отметить, что в [3] для уравнения с младшей производной

,

по технологии построена монотонная схема с погрешностью на равномерной сетке.

7.2. Монотонные однородные схемы  второго  порядка аппроксимации конвективных членов в уравнениях с постоянным коэффициентом молекулярного переноса

  Вышеизложенная технология [1] для многомерных уравнений применяется аналогичным образом.

  Для двумерного уравнения параболического типа

 

подобная (7.1.5) явная схема имеет вид

   

где коэффициенты при диссипативных членах равны

  На равномерной сетке данные коэффициенты упрощаются

 

  Схема устойчива и сходится в норме С  при условиях:

  Для уравнения с различными коэффициентами диффузии

монотонная схема Джакупова  второго порядка точности имеет вид:

      Нетрудно построить по данной технологии безусловно сходя-

щиеся и устойчивые схемы типа  Кранка-Николсона  или схемы метода дробных шагов. Именно в работе [1] аналогичная ап-проксимация применена для уравнений Гельмгольца в схеме пе - ременных направлений.

  Для трехмерного уравнения параболического типа

монотонная однородная явная схема имеет вид

где коэффициенты при диссипативных членах равны

  На равномерной сетке  коэффициенты упрощаются:

  Условия устойчивости  и сходимости в норме С :

  Для трехмерного уравнения с различными коэффициентами диффузии

монотонная схема Джакупова  порядка точности 2 имеет вид:

где обозначены

7.3. Монотонные однородные схемы  второго  порядка аппроксимации конвективных членов в уравнениях с переменным коэффициентом молекулярного переноса

  Рассмотрим одномерное уравнение с переменным коэффици - ентом молекулярного переноса :

   

  Для дифференцируемой функции  данное уравнение можно преобразовать к виду

и построить для него монотонную схему  7.2. Такой подход при - менен для уравнений метеорологии в [4] . В случае разрывного недифференцируемого  коэффициента , очевидно, данное преобразование неприемлемо. Здесь технология построе - ния монотонных схем второго порядка аппроксимации конвективных членов применяется к эквивалентному уравнению

где  обозначено  через    минимальное  значение  функции

. По технологии  7.1 получаются  моно - тонные схемы эквивалентного уравнения для k>1:

   

 

 

с аппроксимацией второго порядка и выше конвективного члена.

  Для двумерного уравнения параболического типа

монотонные схемы аналогичны по конструкции: