Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 58 )

  По Седову [1]  для представлений (11.1.2)  положено

    (11.1.4)

очевидно, для правильных представлений (11.1.3) вместо (11.1.4) получаются  совершенно иные выражения, так как будет

  , 

    (11.1.5)

  На  основании (11.1.4) в дальнейшем выводится формула [1]: 

    (11.1.6)

  Произведение производных в (11.1.6) принято считать малой величиной и оно  отбрасывается, тем самым (11.1.6) упрощается до следующего известного выражения тензора перемещений

  ,  (11.1.7)

  Если    не мало,  то (11.1.7) не имеет места. Очевидно, в силу (11.1.5)  вместо (11.1.6)  и  (11.1.7)  будут совершенно другие соотношения. (С точки зрения здравого смысла формула(11.1.6) абсурдна, если бы и имели различные размерности, например, [] =m/c, a []=m). Совершенно аналогичное обстоятельство имеет место быть и в книге Дж. Мейза «Теория и задачи механики сплошных сред», если привести обозначения Мейза в соответствие с обозначениями  Седова: dx=, dX=, , w=u и т. д. Формула (11.1.6)  в  [2]  имеет  вид

    (11.1.8)

  Таким образом, замечания (11.1.2) и (11.1.3), (11.1.5) относятся и к выводу формулы (11.1.8). Считается, что в (11.1.8) градиенты  малы по сравнению с единицей и их можно отбросить. Собственно говоря, и это совершенно очевидно,  отбрасывание градиентов и связано с подгонкой (11.1.7) к ложной симметричности тензора напряжений сплошной среды. Тензор напряжений сплошной среды в общем случае несимметричен (см. главу 1).

11.2. Альтернативное представление относительного перемещения du

  В обозначениях Дж. Мейза [2] вектор относительного переме - щения du (в книге [1] обозначено dw) вводится как

разность векторов начального положения точки и конечного

положения  той же точки : du=u-u.

  Разложение u в ряд Тейлора в окрестности точки дает

du=Кdx,

или  в  покомпонентной записи  (неполный дифференциал)

  , i=1,2,3  (11.2.1)

(по индексу j производится суммирование от 1 до 3).

  Обратим внимание на то, что  тензор  К  несимметричен: 

  K  (11.2.2) 

В [1]- [3]  по традиции  разложение (11.2.1) приводится к виду

  ,  (11.2.3)

или в обозначениях  Седова  [1]:

 

  Первая сумма в (11.2.3) представляется  эйлеровым тензором линейной деформации

  Е (11.2.4)

  Е - симметричная матрица;  вторая часть в (11.2.3)  есть компопоненты эйлерова тензора линейного поворота 

    (11.2.5)

Они же являются и компонентами антисимметричного тензора

R=

  Очевидно, ряд Тейлора представляется двояко в виде (11.2.1) и (11.2.3):

  du=Кdx  и  du=Еdx+ [rotu, dx]  (11.2.6)

или с помощью антисимметричной матрицы в виде

  du=Еdx+ Rdx]  (11.2.7) 

  Кроме (11.2.6), (11.2.7) имеется бесконечное число различных форм представлений  ряда Тейлора  (11.2.1). С этой целью введем семейство  однопараметрических матриц

  С = (11.2.8)

  Ряд Тейлора (11.2.1)  с применением матриц (11.2.8) имеет бесконечное число альтернативных или универсальных представлений

  du = С dx+ [rotu, dx],    (11.2.9)

При b=1 получается  С=К,  при b=2 получается  С=Е и т. д.

11.3. Парадоксы гипотезы Навье-Коши-Ламе

  Для применения закона Гука в теории твердого деформируе - мого тела используется гипотеза Навье-Коши-Ламе  [2], заклю-чающаяся в том, что в  ряде Тейлора (или неполного дифферен - циала) 

    (11.3.1)

для определения компонент тензора напряжений достаточно только первой половины этого ряда

  ,  (11.3.2)

второй половиной ряда пренебрегается, полагая

  ,  (11.3.3)

хотя оба эти выражения состоят из одних и тех же градиентов.

  В результате по гипотезе Навье-Коши-Ламе закон Гука был определен и щироко используется в виде

  , (11.3.4)

где , коэффициенты Ламе, .  Тем самым по (11.3.4)) утверждается, что силы, деформирующие тело,  создают только линейную деформацию Еdx. По гипотезе Навье-Коши-Ламе эйлеров линейный поворот приравнивается к нулю[rotu, dx]=Rdx=0, что конкретно выражается в силу (11.3.3) как равенство нулю ротора перемещения (см. Лурье [3]): 

  rotu=0  (11.3.5)

(В частности, условие разрешимости в [4] имеет вид  ) . Следовательно, формула (11.3.1) обрезает - ся и принимает  укороченный вид (11.3.2), не совпадающий

с рядом Тейлора:

  du=Еdx  (11.3.6) 

  Разумеется,  указанный парадокс  связан с  подгонкой (11.3.4) к формуле эйлерова тензора конечных деформаций

  , 

в котором по теории малых деформаций отбрасываются произ-ведения  ,  могушие  быть  и  совсем  немалыми,  и

предлагается сомнительная формула 

  Итак, если следовать гипотезе Навье-Коши-Ламе, по которой  rotu=0,  то из представления ряда Тейлора в универсальной форме

  du = С dx+ [rotu, dx],    (11.3.7)