Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 49 )

  Заметим, что для давления начальное и краевое условия не ставятся, для плотности газа не ставится краевое условие,

нет в них необходимости. Во-первых, предлагаемые полуявные разностные схемы организованы таким образом, что значения давления вычисляются в соответствующих граничных узлах  сеточной области по итерационному численному алгоритму. По-этому плотность газа вычисляется во всей области, включая гра - ницу, из уравнения состояния . В качестве примера на рис.1 приведена постановка задачи о конвекции при подогреве газа снизу , остальные стенки области теплонепроницаемы. Ясно, что в данной задаче любое задание краевых условий для давления будет соответствовать  совершенно иной задаче.

  Во-вторых, для численного решения этих уравнений полнос - тью применима технология построения и реализации схем, изло - женная в предыдущей главе 8. В технологии главы 8 для давления получены разностные граничные условия из уравнения неразрывности. То же самое обстоятельство имеет место и для уравнений сжимаемого газа.

  В задачах обтекания тел безграничным потоком полные урав - нения можно решать в сеточной области   поставив, например, в задачах  расчета  течений по направлению в качестве одного из граничных условий при i=N1  равенство нулю второй или третьей производных от искомых функций

    (9.2.1) 

  На неравномерной сетке (9.2.1) аппроксимируется  формулой

(9.2.2) 

на равномерной сетке из (9.2.2)  получается

    (9.2.3) 

  Аппроксимацию всех конвективных  членов можно произвес - ти по формуле без «схемной вязкости»

или применить методику монотонных схем главы 7 для низко - скоростных течений с законом трения Ньютона или по простой аппроксимации Булеева-Петрищева

 

но ни в коем случае центральными  разностями

они приводят к  неверным результатам (к пилообразности решения).

  В полуявной схеме градиенты давления и компонент скорости в уравнении неразрывности аппроксимируются центральными разностями и берутся на верхнем слое  n+1 внешней итерации,  а все остальные члены уравнений  на нижнем слое времени :

(9.2.4) 

    (9.2.5)

  Схемы (9.2.4),  (9.2.5) записаны для  индексов .  Для конвективных членов  применена универсальная  аппроксимация  «без схемной  вязкости». 

10. Схема  уравнения неразрывности

  В схемах (9.2.4) градиенты давления заменены центральны - ми разностными производными. По сформулированному в  [6] принципу взаимосогласованной аппроксимации, производные в уравнении неразрывности также аппроксимируются центральными разностными производными : 

  (9.2.6)

В граничных узлах  заданы температура и компоненты скорости

  В граничных узлах уравнение неразрывности  аппроксимируется по технологии [1]  разностями вперед:

    (9.2.7) 

в граничных узлах

аппроксимируется  разностями назад:

  (9.2.7э)

  Например, в граничных узлах (9.2.7) имеет вид

(9.2.8) 

  В граничных узлах запись (9.2.7) принимает вид

(9.2.9)

  В граничных узлах запись  (9.2.7э) принимает конкретный вид

И так далее на других участках границы.

  20.  Реализация уравнения состояния 

  По явной схеме (9.2.5) насчитывается поле температуры . Уравнение состояния  представляется  в  виде  .  В разностные  уравнения неразрывности (9.2.6), (9.2.7), (9.2.7э), (9.2.8), (9.2.9) и др. подставляются , потому как известное значение плот - ности с предыдущего слоя времени . Надо иметь в виду, что уравнение  состояния    имеет  место  во  всех  точках 

сеточной области .

30. Разностные уравнения для давления

  Предварительно уравнения (9.2.4) умножаются на шаг по времени , после чего представляются в виде

   

  (9.2.10)

  С целью использования результатов предыдущей главы вер-немся к исходным обозначениям 

  В данных обозначениях (9.2.10) примет вид

 

    (9.2.11)

 

Уравнения для давления получаются  путем подстановок в

разностные аналоги уравнения неразрывности (9.2.6), (9.2.7), (9.2.7э), (9.2.8), (9.2.9) и др.: