Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 15 )

  Таким образом, симметричность тензора напряжений (1.8.11) и вытекающая из нее симметричность напряжений противоречат  теореме 4, что подтверждается приведенными в  1.6 примерами 

1-8 и перечнем парадоксов.

  Утверждение 1.  Симметричность тензора напряжений по гипотезе Стокса не есть физическое свойство среды, а явля - ется следствием искусственного приравнивания главного момента  моменту главной силы ,  т. е. математи - ческое  условие  равенства этих моментов в том смысле, что если в некоторой точке потока  выполняются  одновременно условия (1.8.11), момент главной  силы становится  равным

главному моменту  ,  если  эти  условия  (1.8.11) 

не выполняются, то они неравны друг другу: .

  Следовательно, неправильно применена теорема об измене - нии момента импульса к произвольному объему сплошной сре - ды, о чем было сказано в 1.3, ибо это приравнивание произошло вследствие  приравнивания  левых частей выражений  (1.8.2) и  (1.8.5).

  Тензор напряжений в общем случае несимметричен, о несим - метричности для отдельных течений было указано еще в [3].

  Является обоснованным вывод: для вязких сред имеют мес - то реологические законы  с несимметричными касательны - ми напряжениями,  так  как  гипотеза  Стокса приводит к вышеперечисленным  противоречиям.

1.9. Из теоремы об изменении момента импульса не следует симметричность тензора напряжений

  Для системы материальных точек, каждая из которых имеет

массу и движется под действием силы со скоростью , теорема об изменении момента импульса имеет вид  [5]: 

    (1.9.1) 

  Для взятого в виде параллелепипеда  объема индивидуальных частиц сплошной среды, радиус-вектор на - правлен в точку приложения главной массовой силы , соот - ветственно, радиус-вектора главных поверхностных сил направ - лены в точки их действия на каждой грани параллелепипеда:

  .

  В силу этого по фундаментальной теореме  (1.9.1) для объе - ма   главный  момент сил  представляется  в виде 

  +

  ++  (1.9.2) 

  Главная сила стоит в  правой части  (1.4.3) 1.4  и равна 

  Очевидно, по теореме 4 момент главной силы не равен главному моменту сил: . Рассмотрим более подробно подынтегральное выражение в левой части (1.8.7) 1.8,  представляющее  собой  момент  главного импульса    массы, где , - индивидуальный объем, в котором находится масса , причем каждая частица обладает скоростью , т. е. существует соответствие в силу чего главный момент векторов системы  частиц объема будет равен . По теореме 4 он  не равен моменту главного импульса :

,  ибо

  =,

следовательно, равенство между ними возможно только при выполнении условий  теорем 5 или 6. При предельном переходе в рассматриваемом  выражении является конкретным радиус-вектором точки сплошной  среды, значит,  по теореме 6  будет произвольным  вектором, поэтому  равенство  между  ,  которое  получено  интегрированием  по всему объему  сплошной  среды  обеих  частей  (1.8.3)  1.8:

,

и    невозможно, тем самым обосновано неравенство  в силу зависимости

,

а правая  часть преобразуется  к выражению

=

  Совершенно аналогичные выводы надо сделать и для  момента массовых сил , ибо есть сумма всех сил в объеме , действующих на частицысплошной среды, причем

  ,

  По  теореме 4  ,  поэтому для  конкрет-

кретного  вектора по теореме 6 равенство 

    возможно только для такого вектора , который не будет в об - щем случае равен истинному : , т. е. в правой час - ти  (1.8.7) 1.8  стоит на самом деле , являющийся совершен - но произвольным вектором. Классическая формула из [1]

    (1.9.3) 

в силу указанных выше причин не соответствует  фундамен - тальной теореме  об изменении момента импульса (1.9.1).

  Действительно,  теорема об изменении момента импульса