Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 12 )

 

0	ось симметрии трубы        +a  стенка трубы

   

Рис.2

  Напротив, по закону  Ньютона  касательные напряжения равны нулю: ,  т. к. из-за отсут - ствия радиального течения. 

  Очевидно, для несимметричного тензора (1.6.6) противоре - чия, подтвержденного рисунками 1, 2, 3, не возникает, в то вре - мя как для симметричного тензора напряжений Стокса (1.6.2) имеет место указанный на рисунках 1, 2, 3 парадокс.

  Аналогичный парадокс с направлениями симметричных стоксовых касательных напряжений, очевидно, получается в течениях  Пуазейля  и  Куэтта. 

 

0	ось симметрии трубы          +a  стенка трубы

    Рис.3

1.7. Несимметрический тензор напряжений  Ньютона. Парадоксы определения вязких нормальных напряжений связаны с гипотезами о давлении и с законом Паскаля для идеальных жидкостей

  Закон линейной зависимости напряжений от скоростей дефор - маций, предложенный Стоксом в 1845г. Как неадекватное обобщение закона трения Ньютона,  можно связать с формулой Гельмгольца или рядом Тейлора, (что одно и то же):

  (1.7.1)

эквивалентная  запись  (1.7.1) имеет вид:

   

  Данную формулу необходимо представить в раскрытом виде

(1.7.2)

  Относя (1.7.2) к бесконечно малому отрезку времени , по - лучаем  конвективную составляющую ускорения

  На основании (1.7.2) Стокс выдвинул гипотезу о том, что напряжения  пропорциональны  удвоенному деформационному смещению  2. Гипотеза  была сформулирована в виде обобщенного  закона  Ньютона (другое название – закон Стокса) с симметричным тензором напряжений 

  , (1.7.3)

где -  символ Кронекера.

  Как было отмечено, появление множителя «2» в 2  связано с подгонкой  касательного напряжения по Стоксу (1.7.3) к закону трения Ньютона (1.6.6) 1.6: . В связи с этим ставится вопрос: если напряжения (1.7.3) вызваны деформационными смещениями , то какие же напряжения создают стоящие в (1.7.2) вращательные смещения или ? Тем более,  что во вращательное движение входят те же градиенты , что  стоят  и в , более того является составной частью конвективного ускорения!

  Парадоксальное пренебрежение Стоксом этими силами мо - тивировано  подгонкой гипотезы (1.7.3) к ошибочному положе - нию о симметричности тензора напряжений. (Несимметрич - ность тензора напряжений сплошной среды будет строго дока - зано в нижеследующих параграфах.)

  Ответом на поставленный выше вопрос является очевидная  необходимость  учета  напряжений

образованными  вращательными  смещениями среды, наравне с напряжениями

,

образованными в потоке деформационными смещениями, т. е. нельзя пренебрегать столь важной составляющей общего движения, как . В результате  этого суммарная сила определяется уже в виде

  ,

что после подстановки приводит к несимметрическому  тензору напряжений

    (1.7.4) 

  Данная формула соответствует как ряду Тейлора  так и закону  трения  Ньютона    и  дает  несимметричные  значения  касательных  напряжений (1.6.6) 1.6: . В декартовых координатах  это будет  так:

,  ,  ,

  ,  ,    .

  Нормальные  напряжения,  в силу  равенств  (1.2.7) 1.2 ,  равны

 

  ,

+,