Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 8 )

-  мощность массовой силы, а это выражение

дает сумму  мощностей  поверхностных  сил, действующих  на пары граней  параллелепипеда, сумма

  - есть потоки  тепла  через  эти грани, мощность  источника  или потребителя  энергии  в  объеме  .

  Поделив обе части (1.4.7) на и стягивая параллелепипед  к точке, приходим  к  уравнению  баланса  энергий  в сплошной среде:

    (1.4.8) 

,

из  которого  по  закону Фурье и  , 

получается уравнение  притока  тепла для несимметричного тензора напряжений Ньютона [8] в виде

(Энергия тепла, проходящая через площадку в единицу времени, равна  ). Изложенный выше индуктивный  подход обладает прямой связью с основными законами физики. 

  Следует отметить, что уравнение неразрывности (1.4.6) выве - дено в [1] из закона сохранения материи  индуктивным методом. По закону сохранения  материи  масса индивидуаль - ного объема есть  величина постоянная =const,  поэтому

    (1.4.9)

  В силу формулы (1.2.15)  из  (1.4.9)  вытекает выражение

  ,

откуда, сокращая ,  приходим  к  уравнению  неразрывности 

 

  Целью вышеизложенных двух параграфов  было обоснование того, что для вывода основных уравнений  можно  не  применять дедуктивный метод. 

  Как это показано в 1.3, при выводе ложной симметричности тензора напряжений сплошной среды традиционно используется 

дедуктивный метод.

1.5. Парадоксы первой  теоремы Гельмгольца

  Известно [1], что Гельмгольц, исключив давление р из уравне-

ний  Навье-Стокса  несжимаемой жидкости [1] ,  вывел уравне-

ние для ротора скорости 

+

  Имея  в виду,  что  размерность  совпадает с размернос - тью угловой  скорости ,  Гельмгольц попытался связать их  с помощью  формулы  скорости  для точек твердого тела [1] :

  ,  (1.5.1)  где  скорость и радиус-вектор полюса, относительно которого в данный момент происходит мгновенное вращение те - ла. Попытка выразить компоненты угловой скорости через компоненты  линейной скорости

= привела Гельмгольца к  решению относитель - но   линейной алгебраической  системы 

  , 

    (1.5.2)

  , 

определитель которой равен нулю, поэтому данная система  при заданных разностях

 

 

имеет бесконечное множество решений, что  в  первую очередь следует из равенства

;

совместность системы вытекает из условия  ортогональности к :  (,)=0. В самом деле, если в качестве исходной произвольной переменной  выбрать , то  множество решений  системы  (1.5.2)  записывается в виде

    (1.5.3) 

  Гельмгольц (или Лойцянский в [1]) поступают совершенно иначе. Полагая  постоянными , дифференцируется  (1.5.2)  по x, y,z, в результате  для компонент угловой скорости твердого тела получаются  выражения:

 

    (1.5.4) 

  Парадоксально, что применение метода  (1.5.4)  Гельмгольца к решению системы линейных уравнений 

 

дает  N*N значений  искомых  неиз - вестных  вместо положенных  N. Очевидно, из них можно обра - зовать  любые  комбинации  типа

  ,

где - произвольные числа. В случае  системы  (1.5.4)  этим фактом можно воспользоваться следующим образом. 

  Умножив верхнюю строчку на n – нижнюю строчку на m,  сложив и  поделив  их  на  m+n ,  найдем  значения

 

    (1.5.5) 

   

  Гельмгольц из данного бесчисленного многообразия  компонент угловой скорости использовал только одну совокупность,  получающуюся  из  (1.5.5)  при  m=n=1:

 

  ,  (1.5.6)