Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 36 )

  ,  (23)

    (24)

  Точным решением  уравнения (23) в физической области при краевых условиях  (22)  является (24).

  Разность  решений  (22)  и  (24) 

  (25)

показывает,  что  то есть  при  

фиктивное решение не стремится к действительному решению . Теперь рассмотрим решение уравнения (23) в фиктивной области  .  Согласно “м. ф.о.” (2) на границе  фиктивной области ставится однородное краевое условие  , кроме этого на границе физической области дано Для  этих краевых условияй точное решение уравнения (23)  в фиктивной области имеет следующий вид:

(26) 

  Аналогично (25) разность решений (21) и (26) в фиктивной области не стремится к нулю при . Отсюда следует вывод, что решение (26) в фиктивной области не сходится к ре - шению уравнения Навье (21), поэтому в нефизичной фиктивной областине может быть применено уравнение. 

  Очевидно, точное решение уравнения Навье  (21) на границе 

“” фиктивной области не равно нулю

  ,  (27)

поэтому однородное краевое условие “м. ф.о.” (2) полностью противоречит точному решению (21), согласно которому , что видно из рисунка.  Итак, в этом контрпримере  решение  (26) в фиктивной области на сколь угодно большую величину отличается от продолжения решения (21) в эту область, cледовательно, указанное неравенство граничных значений

    (28)

доказывает  бессмысленность применения “м. ф.о.” (2)  в зада-

чах гидродинамики.

  На данном гидродинамическом контрпримере 4 убедитель - но показана проблема постановки адекватных продолжению в фиктивную (заграничную) область решению  (27) cоответствую - щих граничных условий для  фиктивной задачи (23),  потому что однородное краевое условие “м. ф.о.” (2) оказалось ошибочным. В данном примере рассмотрена простей - шая область, причем здесь известно классическое аналитическое решение (21) действительной задачи, благодаря чему известно  точное краевое условие (27).

  При решении пространственных задач, где заранее не из - вестно аналитическое решение типа (21), сложность, откро - венно говоря, неразрешимость  проблемы постановки гра - ничных условий  на фиктивной границе  , не совпада - ющей с действительной  границей  ,  в пространственных задачах  гидродинамики  неоспоримо очевидна.

Данные контрпримеры есть доказательство того, что верна 

  Теорема 2. При решение фиктивной задачи в фик - тивной области не будет совпадать с продолжением решения в фиктивную область действительной задачи.

  Основная цель  “м. ф.о.” заключается в использовании решения фиктивной задачи в фиктивной области как дополнительных краевых условий в сеточных методах решения  исходной основной задачи. Контрпримеры  и теорема доказывают ошибочность и непригодность “м. ф.о.” к  решению уравнений гидродинамики в нестандартных областях.

  Теорема 3. При решение фиктивной задачи

в фиктивной области не будет совпадать с продолжением решения в фиктивную область действительной задачи:

  Доказательство теоремы опирается на предыдущие результа - ты и на здравый смысл, заключающийся в абсолютной невоз - можности  поставить такие начальное и граничное условия

в фиктивной задаче, при которых решение фиктивной задачи точно совпало бы с продолжением в фиктивную  область  реше -

ния исходной действительной задачи (см. (28)). Понятно, что ес - ли  не  будет  требуемого  точного  совпадения, то решение фик-

тивной  задачи,  привлеченное  как дополнительное условие, ис-

портит решение действительной задачи, что неприемлемо.

  Предложение. В задачах о течениях в областях с твердой кри - волинейной  границей более приемлемым является экстраполи- 

рование на узлы сетки в фиктивной области, значений, получен - ных в узлах действительной области,  причем для экстраполиро-

вания  можно  применять формулы сплайн-функций, а давление должно вычисляться из уравнения неразрывности. Это гораздо проще и экономичнее, чем решение в фиктивной области гро-моздкой, не соответствующей  законам физики, системы надуманных уравнений с необоснованными начально-краевыми условиями.

  y

b  физическая область D	u=0        течениe Пуазейля     u=u(y)
физическая область D     - b	0            течениe Пуазейля     (21)
фиктивная  область                продолжение    решения (21)

  - y