Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 63 )

  Обозначая , находим, что в (9) и (10) невязки минимизируются одинаково. Этот факт свидетельствует о том,  что использование формулы (7) в методах минимальных  невязок дает убыстрение, совпадающее со скоростью самого метода. Для ускорения сходимости методов минимальных невязок эффективными оказываются многоциклические ускорения и двухциклические нижеследующих типов.

  Теорема 2. В двухциклических  ускорениях (m=2)

    (11)

параметры вычисляются по формулам

    (12) 

при этом имеет место неравенство.

  Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (11)

поэтому согласно (12) найдем

    (13)

  По неравенству Коши-Буняковского

 

в силу чего из (13) следует неравенство.

  Теорема 3. В трехциклических  ускорениях (m=3)  (14)

параметры вычисляются по формулам

      (15)

при этом .

  Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу (14)

    (16)

Подставляя (15) в (16) и проделав соответствующие преобразования, придем к равенству

    (17)

где  ,

 

  Для того чтобы  в (17) выполнялось неравенство

  ,  (18)

достаточно доказать, что

    (19)

  Так то возможны два случая:1)   тогда неравенство (19) выполняется очевидным образом;

2) в этом случае выполнение (19) не очевидно.  Доказательство того, что при имеет место (19) опирается на то, что по неравенству Коши-Буняковского

, следовательно,

, ч. т.д.

  Теорема 4. В четырехциклических  ускорениях (m=4)      (20) 

параметры вычисляются по формулам

    (21) 

,

при этом  .

  Формулы (21) вытекают из (5). Методом математической ин - дукции можно провести доказательство того, что в теореме 4 и в основной теореме имеeт место неравенство,  так как для  n=1 и  n=2 это доказано в теоремах 2 и 3.

  В самом деле, формулу  (20)  можно записать в виде, напоминающем трехциклическую (14): 

    (22)

  Если  , то (20) можно записать в виде 

    (23)

  Формулы (22),(23) формально совпадают с (14), причем параметры вычисляются из условий экстремума.

  Для  трехциклического  ускорения верна теорема 3, поэтому , ч. т.д. Аналогичными рассуждениями метод математической индукции позволяет установить, что и в основ - ной теореме будет иметь место требуемое неравенство . Примечательным свойством ускорения (3) является то, что неравенство выполняется для любого невырожденного линейного оператора  А, от которо - го не требуется таких  свойств, как диагональное преобладание, самосопряженность, положительная определенность и т. д., тре-буется лишь сходимость итераций.

  Численные эксперименты, проведенные с двухциклическим ускорением при показали, что в некоторых итерационных методах ускорение делает их сходимость от 1,5 до 20 раз быс - трее. В качестве иллюстраций ниже приводятся таблицы изме - нения максимум-нормы невязки на примере решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона на сетке  с двуциклическим ускорением метода Красносельcкого - Крейна (м-К-К).

Таблицы убывания норм невязок

при  двуциклическом  ускорении 

с точностью итераций

Итера- ция s=…	(м-К-К) без ускорения	Уско-рение i=5	Уско-рение i=7	Уско-рение i=8	Уско-рение i=9
s=0	806,820	806,820	806,820	806,820	806,820
s=10	70,398	73,002	74,087	74,903	74,864
s=20	55,096	41,048	45,618	44,292	57,436
s=30	34,500	14,071	20,214	11,872	18,174
s=40	20,966	3,299	6,903	4,039	8,210
s=50	12,696	1,067	1,836	1,934	2,523
s=60	7,685	0,274	0,828	0,542	0,951
s=70	4,651	0,047	0,182	0,297	0,203
s=80	2,815	0,016	0,074	0,079	0,059
s=90	1,704	0,005	0,019	0,031	;0,004
s=100	1,031	;0,001	;0,007	0,011
s=110	0,624	;
s=120	0,378
s=130	0,229
s=140	0,138
s=150	0,084
s=160	0,051
s=170	0,031
s=180	0,019
s=190	0,011
	0,006

  В теореме 2 используются только две предыдущие итерации и , например, для i=3 для i=5 и т. д.