Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 52 )

  В дальнейшем  была  предпринята  попытка  дать обоснова - ние “закону  Дарси ” (10.1.1), используя уравнение динамики вязких сред

  ,  (10.1.2) 

в котором  ускорение приравнено к нулю

    (10.1.3)

и, учитывая  значительное сопротивление среды движению жидкости  (фильтрации),  сделано  предположение,  что  в грунте, состоящем из твердых частиц, можно применить формулу  трения  при скольжении  твердых тел (см. Полубаринова-  [1] )

  , 

по которой  силы вязкого трения  предполагаются пропорцио - нальными  скорости

   

В результате “ закон  Дарси ”  для многомерной фильтра-  ции  применяется в виде  системы

  ,  (10.1.4) 

  ,  (10.1.5)

- плотность массовых сил.

  Уравнение  (10.1.2)  является аналогом  2-го закона Ньютона, приходящегося на единицу объема 

  , 

согласно чему в  модели (10.1.4), (10.1.5) получается, что при фильтрации  ускорения  частиц  жидкости 

   

равны  нулю,  следовательно,  их  скорости    есть 

величины постоянные и по первому закону Ньютона  частицы жидкости  должны двигаться по прямолинейным траекториям.

  На данном рисунке показано огибание жидкостью частиц грунта по криволинейным траекториям, что неизбежно создает центростремительную составляющую ускорения, в силу чего  

10.2. Проблема постановки граничных условий

  Сложность постановки граничных условий, адекватных моде - лируемому физическому процессу фильтрации, уже видна из одномерных уравнений «закона Дарси». В самом деле, система уравнений (10.1.4), (10.1.5)

  ,  

в  одномерном  течении  параллельно  оси  z  cо  скоростью

  в  проекции на ось  z  приводится  к  уравнениям

  Из последнего уравнения вытекает постоянство скорости.  Для определения данной  const  необходимо и дос - таточно задать скорость в одной точке.

Тогда  для вычисления давления из первого  уравнения

   

тоже достаточно задать его значение в одной точке и реше-

ение будет иметь вид

 

  Данное обстоятельство должно быть принято во внимание в теории многомерной фильтрации при поставновке граничных условий для компонент скорости и давления.

10.3. О постановке граничных условий для искомых функций u, v, w, p

  Возникает ряд проблем при постановке краевых условий для

уравнений в частных производных “ закона Дарси ”, связанных с тем, что в (10.1.4), (10.1.5-8)  входят только первые производ - ные от искомых функций  u, v, w, p. Действительно,  в декарто - вой системе данные уравнения имеют вид: 

(10.3.1)

  ,  (10.3.2) 

следовательно,  для  u и p должно быть поставлено  по одному граничному условию на линиях, параллельных координатной оси x, для  v и p - по одному–граничному условию на линиях, параллельных координатной оси y,  для  w и p -  по одному граничному условию на линиях, параллельных координатной оси z, т. е. только на отдельных участках границы исследуемой области течения, а не на всей границе в целом.

  По теореме Остроградского – Гаусса

из уравнения неразрывности (10.1.5) вытекает условие на гра - ничные  значения компонент вектора скорости

    (10.3.3) 

10.4. Граничные условия Дирихле и Неймана

  Проблема постановки граничных условий  возникает уже для  двумерных уравнений

    (10.4.1) 

    (10.4.2)

  Ради простоты рассуждений  границу плоской  области выберем в виде прямоугольника. По вышесказанному, если на  участке границы  задано граничное условие,a

на  участке границы    задано  , то  в силу вхож - дения в уравнения (10.4.1) первых  производных  от  давления должны быть заданы  граничные условия на противо - положных участках  границы , в виде  p= и  p=q.

  Практикуемая до сих пор методика решения уравнений (10.1.4), (10.1.5-8) использует уравнение эллиптического типа

  ,  (10.4.3)

что является следствием подстановки (10.1.4) в (10.1.5-8). Инте - грал по  области от обеих частей (10.4.3) приводит к равенству

  (10.4.3’)

  Таким образом, для двумерного уравнения (10.4.3-14) в силу связи (10.4.1-12) граничными  условиями  будут 

    ,

    (10.4.4)

  Решая краевую задачу  (10.4.3), (10.4.4) относительно давления  p,  компоненты скорости вычисляют из формул  (10.4.1):

  (10.4.5)

во всей области  ,  в том числе на участках  , границы. 

  Возникает вопрос:  удовлетворяют ли полученные в результате решения краевой задачи (10.4.3), (10.4.4)  значения компонент скорости условию  (10.3.3), которое для плоской области    примет вид

  ,  (10.4.6)

в данном случае -  кривая, ограничивающая .

z  p=    p=q         x

Рис.1