Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 16 )

должна быть написана в  индивидуальном объеме  в  виде 

следовательно,  для объема   в виде тройного интеграла 

  (1.9.4) 

  Согласно теоремам 5, 6,  между  соответствующими  члена- 

ми  выражений  (1.9.3) и  (1.9.4) нельзя ставить знак  равенства, т. е. имеют место очевидные неравенства

,

  ,  (1.9.5)

которые  подтверждают  различие  выражений  (1.9.3)  и  (1.9.4).

  Надо иметь в виду то обстоятельство, что подвижная система координат, имеющая  начало в центре массы  , сле - довательно,  движущаяся с ускорением  ,  будет не - инерциальной  системой. В  (1.9.5) являет-ся главной  поверхностной силой,  действующей  на  площадку, где  , часть поверхности ,  которую занимает частица ,  находящаяся  под действием  напряжения  .  Векторы ориентированы на частицы  ,  лежащие  на  поверхности ,  ч. т.д. 

  Из  (1.9.4)  по указанным выше обстоятельствам уже не сле - дует симметричность тензора напряжений, т. е.  , т. к. в обеих частях (1.9.4) стоят  главные  моменты, по  теореме 4  не  равные  моментам результирующих векторов в (1.9.3).

1.10. Тензор напряжений сплошной среды не симметричен

  Покажем детально еще раз ошибочность равенства (1.8.6) 1.8, широко  применяемого в  [1], [2], [3], [4], для доказательства 

симметричности тензора напряжений.  Представим его в виде

    (1.10.1) 

  Из  этого  выражения теоретически  получена  симметрич - ность  тензора напряжений  сплошной среды  и,  как  следствие этого, подгонка симметричности касательных напряжений  вязкой жидкости в гипотезе  Стокса [1]. 

  Докажем, что левая часть (1.10.1)  не равна  нулю:

 

  С этой целью сформулируем теорему об  изменении моментов импульсов (количеств движений) для индивидуального  обьема  сплошной  среды:

    (1.10.2) 

  Между векторами в (1.10.1)  и  в  (1.10.2)  имеет место связь  , откуда вытекает связь и  между скоростями

 

  Подставляя их в  (1.10.2),  найдем

 

    (1.10.3) 

Проделаем  необходимые преобразования:

  Здесь  в объеме   учтено  .  Имея в виду 

, проделаем следующие преобразования 

 

  Здесь использовано равенство =0 и равенство

нулю уравнения неразрывности: .

  Окончательно имеем:

  =+

  + (1.10.4) 

  Далее  в  правой части (1.10.3):

,

где  по теореме Остроградского-Гаусса и теореме о среднем для элементарного объема имеют место  преобразования 

  В результате данных преобразований  (1.10.3)  примет вид

+   =

= +

  Поделив это выражение  на   и  проделав перегруппиров - ку,  получаем

    (1.10.5) 

  Подведем итоги. В учебниках [1], [2], [3],[4], [5], [13] и др. тем или иным способом известная формула:

т. е. левая часть (1.10.5) равна нулю во всех точках потока и всег - да и, следовательно, тензор напряжений симметричен:

.

  Исходя из фундаментальной формулы физики (1.9.1), транс - формированной  для  элементарного  объема  сплошной среды к

виду (1.9.2), получено выражение (1.10.5), правая часть которой

  +  (1.10.6)

в общем случае не равна нулю, т. к. во-первых, числитель дроби составлен из величин 1-го и 2-го порядков малости, а в знамена - теле стоит величина 3-го порядка малости (), во-вторых, элементарный объемдвижется вместе с потоком (см. (1.2.15)  пункт 1.2 главы 1) и он выбирается совершенно произвольно.

  Собственно  говоря, если в какой-либо точке потока выраже-

(1.10.6) будет равно нулю, это будет означать, что в данной точ - ке тензор сплошной среды симметричен и частица не вращается.