Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 13 )

,

где,  в отличие  от нормальных  напряжений гипотезы  Стокса,  стоит  согласно гипотезам о давлении.

Парадоксы определения вязких нормальных напряжений

  Первая гипотеза о давлении гласит: среднеарифметическое значение вязких нормальных напряжений должно быть равно давлению со знаком минус (см. [1] ): 

    (1.7.5) 

  В силу данной гипотезы в нормальные напряжения в законе Стокса (1.7.3) был искусственно включен член и в (1.7.4) по аналогии включен . Эти искусственные гипотетические включения обеспечивают безусловное выполнение гипотезы о давлении (1.7.5).

  Известно, что гипотеза (1.7.5) для идеальных жидкостей является законом Паскаля, безусловно выполняется для несжимаемых вязких жидкостей , даже если нормальные напряжения в них определять с произвольным коэффициентом : 

  ,  (1.7.6)  а касательные напряжения определить по закону Ньютона 

   

  При =0  из (1.7.6)  вытекает  закон Паскаля. При значении   нормальные и касательные на - пряжения  определяются  единой записью

  ,  (1.7.7) 

т. е. имеет место канонический  несимметричный тензор

    (1.7.8) 

  Если в определении вязких нормальных напряжений  исходить  из первой гипотезы  (1.7.5), то налицо произвол, связанный с выбором коэффициента  .

  Вторая  гипотеза  о  давлении  гласит:  что  нормальные

напряжения в сжимаемом газе должны удовлетворять уравнению

  ,  (1.7.9) 

где произвольный коэффициент (для его выбора нет каких-либо физических обоснований) объявляется коэффициентом объемной вязкости или вторым коэффициентом вязкости.

  Нетрудно вычислить, что вторая гипотеза выполняется для нормальных напряжений  вида

  ,  (1.7.10)

т. е. несимметричный тензор напряжений  оформляется  в виде

  , (1.7.11)

    (1.7.12) 

  Как сказано, имеется определенный произвол в выборе мно - жителя . Распоряжаясь данным произволом, можно положить  ,  благодаря чему  нормальные напряжения  (1.7.10) в

сжимаемых газах принимают вид

  ,  (1.7.13) 

совпадающий с нормальными напряжениями в несжимаемых жидкостях (1.7.7)  , т. е. (1.7.12) перейдет в (1.7.8) и будет иметь место единый реологический закон, физическое обоснование которого дано в главе 3, как для несжимаемых жидкостей так и для сжимаемых газов:

  ,  (1.7.14)

  Лишь гипотеза (1.7.9)  примет иную  форму

  ,  (1.7.15)

которая соответствует нормальным напряжениям (1.7.13)! 

  В случае несжимаемых жидкостей с гипотеза  (1.7.15) автоматически переходит в закон  Паскаля. 

  Тем самым показано: 1) что включение комплексов или   есть некая совершенно очевидная подгонка вязких нормальных напряжений к гипотезе о давлении (1.7.5);  2)  формулы нормальных напряжений зависят от вида гипотезы о давлении.

  Отказ от искусственных добавок типа , , значительно упрощает тензор напряжений, следовательно, и уравнения динамики вязкого сжимаемого газа  с .

  Приведенные выше парадоксы с гипотезами о давлении и рео -

логический закон Ньютона (1.7.14) позволяют сделать вывод: пропорциональность вязкой части нормальных напряжений диагональным элементам тензора перемещения , обоснована законом трения Ньютона, в силу которого касательные напряжения пропорциональны недиагональным элементам тензора .

  Реологический закон Ньютона (1.7.14) освобождает уравне - ния динамики вязких сжимаемых газов в диссипативной части от смешанных производных,  в связи с этим на 12 производных сокрашаются трехмерные уравнения, а если сравнивать с урав - нениями Навье-Стокса, то в общей сумме в новых уравнениях на 18 производных меньше содержится по сравнению с уравне - ниями Навье-Стокса. Кроме того, наличие смешанных произ - водных влияет на тип уравнений, т. е. на квазипараболичность, создает определенные трудности при исследовании устойчи - вости разностных схем для численного их решения.

  В  1.5  отмечено, что в универсальной формуле 

 

при  b=1  стоит матрица , поэтому  переход  к  тензору  перемещения совершается при  b=1 

   

тем самым доказывается, что для построения тензора напря - жений Ньютона нет необходимости в первой теореме Гельм - гольца, следует непосредственно исходить из ряда Тейлора

 

  Разделение ряда Тейлора на симметричную и анти - симметричную части напрямую связано  с  построением симметричного тензора напряжений сплошной среды и с теорией деформаций.

  Л. Д.  Ландау, в качестве дополнительного тре - бования к реологическому закону сплошной среды выдвинули следующее условие: «… во вращающейся  как твердое тело вокруг оси с постоянной угловой скоростью вязкой жидкости все касательные напряжения должны обращаться в нули»  [10]. 

  Напряжения (1.7.6) удовлетворяют этому требованию. Действительно, в цилиндрической системе , ньютоновские напряжения (1.7.7) имеют вид