Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 23 )

  Уравнения  вторых  моментов  , , сос - тавляются методом Келлера-Фридмана  [1] . Ограничимся урав - нениями  вторых моментов  :

=

    (3.3.6) 

  Заменяя  в (3.3.6)  моменты  ,  по формуле  (3.2.9), третьи моменты по формуле (3.2.10), получаем замкнутую систему вместе с уравнениями (3.3.2) для и уравнениями (3.3.3)  для  пульсаций , поставив граничные и начальные условия  :

,

,, ,

 

  При переходе от (3.3.4) , (3.3.5) к уравнениям в безразмерных переменных, взяв в качестве масштабов – скорости  , линей - ных размеров L, времени , давления, темпе - ратуры , получаются критерии подобия: Струхала-Sh, Эйлера - Eu, Рейнольдса-Re, Фруда –Fr, Прандтля –Pr, Шмидта –Sc. На - ряду с ними здесь появляется еще один безразмерный комплекс -  Dg= или Dg=,  определяющий отношение периода осреднения к характерному масштабу времени.

  Точность приближенных вычислений интегралов типа (3.2.9) зависит от величины периода осреднения , а в безразмерной системе от критерия Dg. Здесь надо принять во внимание, во-первых, отсутствие в литературе конкретных экспериментальных значений периода осреднения , во-вторых, то очевидное обстоятельство, что период осреднения может быть функцией пространственных координат  x, y,z.

  Численное моделирование обтекания двух параллельных пластин на сетке 450х150n=166500, t=n, =0.001, Re=30000. Представлены поля актуальных скоростей на один и тот же момент времени. Верхняя эпюра соответствует , полученное из решения уравнений Навье, нижняя эпюра соответствует , полученное совместным решением уравнений Рейнольдса и уравнений для пульсаций для безразмерного периода Dg=10 . Нанесены значения компонент скорости в отдельных точках потоков. Видно различие в расположениях линий тока, что объясняется влиянием пульсаций.

3.4. О неэффективности закона трения Ньютона для моделирования турбулентных течений

Обоснование реологических связей, вытекающих из законов трения

  Линейная формула сил трения  , из которой выте-

кает касательное напряжение по Ньютону ,  считает - ся установленным для малых скоростей  [6]. Для больших ско - ростей предполагается квадратичная зависимость сил трения от модуля скорости  , следовательно, касательное на - пряжение должно зависеть от градиента квадрата скорости в отличие от закона трения Ньютона. Обобщение  данного факта на другие возможные степенные формулы трения и применение вытекающих из них реологических связей к моделированию течений вязкой жидкос - ти привело к интересным результатам. Из достаточно подробно - го доказательства непосредственной связи между силами трения и компонентами тензора напряжений следуют, что вязкие на - пряжения пропорциональны линейным плотностям сил трения.

  Утверждение 1. Формула Ньютона касательных напря - жений  является следствием закона трения для малых скоростей .

  Как  было сказано, назвал закон трения Стокса гипотезой  в силу отсутствия физического и теоретического его обоснований. В физике указывается на два закона трения: это  для малых скоростей  и в случае боль - ших  скоростей (см. [6]). Закон трения Ньютона (касательное напряжение по Ньютону) выводится из формулы .

  Действительно, пусть течение вязкой жидкости происходит со скоростью параллельно плоскости  в положительном направлении оси х. Силы сопротивления  движению частицы равны соответственно: на слое,на слое . Приращения силы и  скорости между слоями: ,, причем . Введем линейную плотность силы как отноше - ние . По определению вектор касательного напряжения параллелен и одинаково направлен с силами трения . Вводя коэффициент пропорцио - нальности, имеем ,  . 

  Данное выражение умножается скалярно на орт : 

 

  В результате получается