Коррекции теоретических парадоксов механики сплошной среды (стр. 14 )

 

для жидкости  , вращающейся с постоянной  угловой  скоростью  , скорости  равны  ( - угол  между  и  ): 

 

следовательно, равны нулю все касательные напряжения 

 

1.8. Предпосылки ошибочного вывода о симметричности тензора напряжений

  Рассмотрим систему материальных точек с массами mi, i=1,2,…,N  и  с  радиус – векторами  ri, i=1,2,…,N,  на  которые действуют  силы . Результирующая (главная) си-

ла равна Момент главной силы равен ,

где    -  радиус-вектор  центра масс, обозначаемый в  дальнейшем  просто  , а  главный момент  сил  равен .

Теорема 4. Для системы материальных точек момент главной силы не равен в общем случае главному моменту:

  Действительно, имеет место очевидное неравенство

   

  Теорема 5. Для заданных взаимно перпендикулярных векторов  существует бесконечное число векторов для которых имеет место равенство . Если заданы взаимно перпендикулярные векторы , то существует бесконечное число векторов

, для которых имеет место это равенство.

  Действительно, данное уравнение, решаемое  относительно имеет  определитель, равный нулю

,   (1.8.1)

где

   

  Из  ,  вытекает  выражение  , которое  представляется  в  виде    и решается совместно с первым уравнением данной системы  (1.8.1). В результате получается бесконечное множество решений

  .

Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

  Теорема 6. Для заданного вектора можно найти бесконечное число векторов и , для которых имеет место равенство  .

  В данной теореме система (1.8.1) решается совместно с уравнениями

и ,

в результате для 6 искомых величин получается

5 уравнений, т. е. 5 неизвестных будут выражены через шестую

неизвестную,  например, как в теореме 5,  через  .

  Главная сила стоит в правой части уравнения динамики (1.3.10) 1.3, где  ради краткости  напряжения  обозначим нижними индексами .

  Умножая  (1.3.10) 1.3  векторно на  получаем  равенство моментов 

    (1.8.2) 

  Очевидно, в  (1.8.2)  момент главной силы  равен 

    (1.8.3) 

  Во-первых, симметричность тензора  напряжений  в [1] выво- 

дится  из теоремы  об изменении  момента  импульса (момента количества движения),  записанного  в интегральном  виде

,

с внесением  дифференцирования  в левой части  под интеграл

  ,  (1.8.4) 

что неправомерно, если объем зависит от времени. Что касается  правой части  этого  выражения, то  в силу формулы  (1.3.3) 1.3  имеет место правильно составленное выражение

  Из сформулированной в [1] (аналогично в  других учебни - ках) теоремы об изменении момента импульса в виде (1.8.4)  получено  неверное в общем случае соотношение

    (1.8.5) 

  Несоответствие выражение (1.8.5)  фундаментальной теореме об изменении момента импульса системы частиц  рассматривается  ниже в  1.9. В правой части  (1.8.5)  стоит главный момент

    (1.8.6) 

потому что (1.8.6)  выводится из соотношения 

  ,  (1.8.7)

где в правой части  стоит суммарный (в виде тройного интегра - ла)  главный  момент  массовых сил    и  главный

момент  поверхностных  сил  ,

с различными радиус-векторами 

  Дифференцированием  (1.8.6)  приводится к виду 

  ,  (1.8.8) 

  В силу  (1.8.3)  главный момент  (1.8.8)  имеет форму 

  ,  (1.8.9) 

По теореме 4 эти моменты  неравны  между собой: .

  В [1] и др. учебниках  традиционно полагается равенство данных моментов, что возможно  только при равенстве нулю последнего члена в (1.8.9): 

    (1.8.10) 

  Для того чтобы момент результирующих сил  равнялся 

результирующему моменту   условие (1.8.10)  должно выполняться в каждой точке сплошной среды.

  Теорема 7. Условие (1.8.10) выполняется при следующих  ситуациях:

1.  Напряжения параллельны координатным осям:

Компоненты напряжений  симметричны: 

    (1.8.11)