Дискретно-непрерывная математика (стр. 100 )

где и

Из этих равенств следует, что uР и vР являются членами мно­жества

что и завершает доказательство.

Метод итерации, рассмотренный в теореме 1, можно назвать полношаговым (Т) по аналогии с соответствующим методом для «точечной системы уравнений». Аналогичный короткошаговый метод (S) получается разложением интервальной матрицы A в сумму

где —строго нижняя треугольная матрица, — диагональ­ная матрица и — строго верхняя треугольная матрица. Тогда короткошаговый итерационный метод определяется формулами

(3)

Следующее утверждение касается сходимости этого коротко-шагового метода.

Теорема 3. Итерационный метод

с произвольным начальным векторомсходится

к единственной неподвижной точке x* тогда и только тогда, когда

Доказательство. Мы собираемся применить теорему 5 из микромодуля 30 и с этой целью полагаем

где

и

где

Мы имеем тогда

и из (23, микромодуль 29) и (25, микромодуль 29) следует, что

для всех Мы имеем так как

— строго нижняя треугольная матрица. Поэтому, полагая

мы оказываемся в условиях тео­ремы 5, из микромодуля 30, так что условие

достаточное. Доказательство необходимости этого условия для сходимости при любом начальном векторе проводится так же, как соответствующее доказательство для полношагового метода в теореме 1.

Теорема Штейна и Розенберга, а также ее обобщение утверждают, что для верна эквивалентность тогда и только тогда, когда

Так как условия сходимости полношагового и короткошагового методов необходимы и достаточны, получаем следующее утверждение.

Теорема 4. Полношаговый метод (2) сходится для любого на­чального значени як единственной неподвижной точке тогда и только тогда, когда короткошаговый метод (3) сходится к единственной неподвижной точке для любого началь­ного значения

Этот результат существенно отличается от соответствующего результата для точечных систем уравнений, где сходимость или расходимость полношагового метода не обязательно означает сходимость или расходимость короткошагового метода.

Поскольку умножение интервальных матриц на интервальные векторы в общем случае не дистрибутивно, то даже для случая не очевидно, что неподвижная точка полношаговой итерации, удовлетворяющая равенству

совпадает с неподвижной точкой короткошаговой итерации, удовлетворяющей равенству

Однако, используя специальный вид матриц мы

получаем с помощью определения действий над интервальными матрицами и векторами, что

Отсюда получается, что и приходим к следующему утверждению.

Следствие 5. Если то полношаговый и короткоша-

говый методы сходятся к неподвижной точке х* уравнения

Рассмотрим теперь симметрический короткошаговый метод (SS), в котором матрица A раскладывается в сумму

где — строго нижняя, а — строго верхняя треугольные матрицы. Метод (SS) определяется соотношениями

(SS)

Если не все диагональные элементы матрицы A обращаются в нуль, то вместо этого мы должны рассмотреть итерационный метод

(SS')

Для этого итерационного метода можно доказать утвержде­ния, аналогичные тем, которые будут доказаны ниже для ме­тода (SS).

Сходимость метода (SS) будет получена из следующего общего результата.

Теорема 6. Пусть интервальная матрица раз-

ложена в сумму двух интервальных матриц и для которых верно. Тогда для произвольного вектора верно следующее:

(a) Для любого интервального вектора существует последовательность которая идовлетворяет итерационным формулам

(V)

(b) Если то уравнениеимеет единственную неподвижную точку х*. Если сверх того

то последовательность, вычисленная по формулам (V), сходится к х* для любого начального вектора х(0). (Как мы уже видели, для интервальных матриц не выполнен дистрибутивный закон. См. микромодуль 29 формулы (6).)

(c) Обратно, если уравнение имеет единствен­ную неподвижную точку х* и последовательность (V) сходится к х* для любого начального приближения х (0), то

и

Доказательство. (а) Для произвольного интервального век­тора z из (23, микромодуль 29) и (25, микромодуль 29) следует, что для любых векторов х, у имеет место

Ввиду мы получаем по теореме 1, что для любого

k уравнение

имеет единственную неподвижную точкуАналогично

можно показать, что для любого k уравнение

имеет единственную неподвижную точку Тем самым доказаны существование и единственность последовательности при данном начальном векторе х(0).