Дискретно-непрерывная математика (стр. 119 )

Рассмотримкак функцию только от х1 и разложим ее в точке у1:

где

Затем мы разложим как функцию от х2 в точке у2 и получим

где

Теперь снова разложим как функцию от х3 в точке у3 и т. д. и, наконец, разложим в точке Собирая эти разложения, мы получим

где

Таким образом, мы имеем соотношение

где матрицаопределена равенствами

(5)

Мы можем взять в качестве решение множества линей­ных уравнений

(6)

так как Упомя-

нутая здесь интервальная матрицаопределена равенствами

и легко видеть, что для интервальной матрицы имеем

Поэтому множество (6) содержит не больше систем линей­ных уравнений, чем множество из (4). В случае когда п = 1 или когда частные производные зависят только от хj, интервальные матрицы совпадают.

Вернемся теперь к первоначальной задаче — как улучшить локализующий вектор для вектора решений В соответствии с только что проведенными рассуждениями мы вычислим интервальный вектор, содержащий множество решений систем (4) (соответственно (6)), а потому и вектор Рассмотрим сначала (4). Предположим, что — простой корень функции в и что все матрицы невырождены. Пусть — интервальная матрица, содержащая все обращения матриц Мы уже продемонстрировали ранее практические методы вычисления такой интервальной ма­трицы Вычислим теперь с помощью интервальный вектор

где определяется согласно (1 из микромодуля 36). Таким образом, получим локализацию для множества решений уравнений (4). Здесь мы использовали соотношение Ана-

логичным образом можно использовать уравнение (6). Ввиду мыможем построить интервальный вектор

и получить новую локализацию для Повторение этого вы­числения приводит к итерационному методу

(7)

где—срединное отображение из (1 микромодуля 36).

Эта итерация порождает монотонную последовательность

интервальных векторов, для которой докажем следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть—интервальный вектор и —корень

функции Пусть — интервальная матрица, содержащая

обратные матрицы для Тогда последовательность интервальных векторов, вычисленная согласно (7), удовлетворяет следующим условиям.

Каждый интервальный вектор содержит корень (8)

Если все матрицы невырождены, то (9)

Доказательство. Рассмотрим (8). По условию теоремы мы имеем а ввиду также и

Поэтому из (10' микромодуля 29) следует, что

а потому

Это рассуждение позволяет доказать (8) методом матема­тической индукции.

(9): В силу следствия 8 из микромодуля 29 монотонная локализующая последо­вательность сходится к некоторому интерваль­ному вектору п. Мы покажем, чтоа вместе с (8) это даст Допустим для приведения к противоречию, что Из непрерывности отображения (7) следует, что х удовлетворяет уравнению

Рассмотрев мы видим, что так как

С другой стороны, мы имеем

Кроме того, из (1 микромодуля 29) следует соотношение

для интервальной матрицыи вещественного вектора хр. От­сюда получается представление

для некоторой матрицыПоэтому имеем

что дает противоречие, так как и матрица невырождена.

Достаточное условие сходимости (9) для итерационного ме­тода (7) использовало более слабое условие

на чем условие, использованное при выводе формул (7). Первоначально мы потребовали, чтобы выполнялось условие

которое легче поддается проверке.

Доказательство соотношения (9) можно модифицировать так, чтобы показать, что изследует