Дискретно-непрерывная математика (стр. 124 )

то имеет нуль вЕсли же для некоторого і, 1≤і≤3, то не имеет нулей в

Доказательство. (22): Это случай i=1. Снова введем отображение

и воспользуемся представлением

для Применяя теорему о среднем значении, получим

Здесь і-я строка матрицы равна где

Далее мы имеем, что

т. е.

где i-я строка матрицы BР равна

Отсюда следует, что

Полагая

получим окончательно

Так как имеем

и потому получаем

(23) и (24): Для можно рассуждать аналогично

тому, как было сделано для Для мы имеем

т. е.

с билинейным оператором Далее отсюда следует, что

и потомуввидумы получаем

Полагая мы получаем

Теперь первая часть нашей теоремы доказывается с по­мощью теоремы Брауэра о неподвижной точке. Вторая часть устанавливается так же, как вторая часть теоремы 8.

Теперь мы сравним некоторые из этих теорем существования с некоторыми результатами, имеющимися в литературе. Опре­делим замкнутыйшар с центром уР и радиусом r:

Под нормой всегда понимаем ∞-нормы. Поэтому можно рас­сматривать как интервальный вектор, все компоненты которого имеют ширину 2r. Нормы линейных и билинейных операторов определяются естественным образом исходя из век­торной ∞-нормы. Первое из приводимых ниже уравнений со­держит теорему существования Ньютона — Канторовича.

Теорема 13. Пусть отображение дважды непрерывно дифференцируемо и суще­ствует

Если выполнены условия

(25)

(26)

(27)

(28)

то имеет нуль в

В следующей теореме изучается соотношение между теоре­мами 12 и 13. В теореме 12 в качестве 12m(x) всегда берется центр.

Теорема 14. (а) Пусть и для

имеет место

для i=l, или 2. Тогда выполнены условия (25)—(28) теоремы 13.

(b) Для i = 2 верно и обратное утверждение. Если выпол­нены условия (25)—(28) теоремы 14 и дополнительное ограни­чение

то В частности,

Доказательство. (а) Включение выполнено тогда и только тогда, когда

Из того, что

следует

В силу теоремы 12(b) из микромодуля 29, (с) ширина векторов удовлетворяет неравенствам

Полагая

и

получим

так как Поэтому имеем

Наконец, условие теоремы дает

и

Так как

получаем

Отсюда следует, что

и

Это показывает, что выполнены условия (25), (27) и (28) теоремы 13. Остается проверить (26). Из следует, что

а потому и

Отсюда следует, что

и

Этим завершается доказательство (а).

(b) Заметим, что из условий теоремы следует неравенство

эквивалентное включению

Ввиду отсюда следует, что

Условие приводит в случае

к

Здесь предполагается, что где λ — некоторая

константа Липшица для первой производной, и

Вопрос о том, когда для верно включение

приводит по существу к тем же условиям, наверняка выполнено, если имеет место Как и в доказательстве п. (а) предыдущей тео­ремы, это эквивалентно неравенству